Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por:
T(x, y)=(3 x-2 y,-2 x+3 y)
Mostre que o conjunto beta=beta1 cup beta2, onde beta1 é uma base para U1 e beta2 é uma base para U2, é uma base para R^2 e determine [T]beta^beta. Dê uma base de autovetores para R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre operadores lineares em R^2. O objetivo é mostrar que um conjunto beta, formado por duas bases beta1 e beta2 de subespaços U1 e U2, respectivamente, é uma base para R^2. Além disso, precisamos determinar a matriz do operador linear T nessa base beta e encontrar uma base de autovetores para R^2. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, bases e autovetores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o operador linear T. Ele é definido por:
T(x, y) = (3x - 2y, -2x + 3y)
Esse operador pode ser representado por uma matriz. Vamos escrever a matriz de T em relação à base padrão de R^2:
A = 3 & -2 -2 & 3
Aqui, os coeficientes de T formam a matriz A.

Passo 3

Agora, para mostrar que beta = beta1 cup beta2 é uma base para R^2, precisamos primeiro entender o que são beta1 e beta2. Geralmente, beta1 e beta2 seriam bases para os subespaços U1 e U2, que poderiam ser, por exemplo, autospalhos (espaces próprios) do operador T.
Vamos descobrir os autovalores e autovetores de T, pois isso nos ajudará a identificar U1 e U2.

Passo 4

Para encontrar os autovalores de T, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Calculando:
det 3 - lambda & -2 -2 & 3 - lambda = (3 - lambda)^2 - (-2)^2 = (3 - lambda)^2 - 4
Desenvolvendo:
(3 - lambda)^2 - 4 = 9 - 6lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 6lambda + 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 - 6lambda + 5 = 0 implies lambda = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42
Então, os autovalores são lambda1 = 5 e lambda2 = 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 5:
Resolvemos (A - 5I)v = 0:
3 - 5 & -2 -2 & 3 - 5 x y = -2 & -2 -2 & -2 x y = -2x - 2y -2x - 2y = 0 0
Isso nos dá a equação:
-2x - 2y = 0 implies x + y = 0 implies y = -x
Portanto, os autovetores associados a lambda1 = 5 são múltiplos de (1, -1).
Para lambda2 = 1:
Resolvemos (A - I)v = 0:
3 - 1 & -2 -2 & 3 - 1 x y = 2 & -2 -2 & 2 x y = 2x - 2y -2x + 2y = 0 0
Isso nos dá a equação:
2x - 2y = 0 implies x = y
Portanto, os autovetores associados a lambda2 = 1 são múltiplos de (1, 1).

Passo 6

Agora que temos os autovetores, podemos definir as bases beta1 e beta2:
beta1 = 1 1 , beta2 = 1 -1
Como beta = beta1 cup beta2, temos:
beta = 1 1 , 1 -1
Para verificar se beta é uma base para R^2, precisamos checar se os vetores são linearmente independentes. Claramente, (1,1) e (1,-1) não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes e formam uma base para R^2.

Passo 7

Agora, vamos determinar a matriz [T]beta^beta, que representa o operador T na base beta.
Como beta é uma base de autovetores, sabemos que:
T(v1) = lambda1 v1, T(v2) = lambda2 v2
Onde v1 = 1 1 e v2 = 1 -1 , com lambda1 = 5 e lambda2 = 1.
Portanto, a matriz [T]beta^beta é diagonal, com os autovalores na diagonal:
[T]beta^beta = 5 & 0 0 & 1

Passo 8

Por fim, já identificamos uma base de autovetores para R^2:
1 1 , 1 -1
Esses vetores são os autovetores correspondentes aos autovalores lambda1 = 5 e lambda2 = 1, respectivamente, e formam uma base de autovetores para R^2.

Resposta

Assim, mostramos que o conjunto beta = beta1 cup beta2 é uma base para R^2. A matriz do operador linear T na base beta é:
[T]beta^beta = 5 & 0 0 & 1
Além disso, uma base de autovetores para R^2 é:
1 1 , 1 -1

Exercícios relacionados