Mostre que o conjunto , onde é uma base para e é uma base para , é uma base para e determine . Dê uma base de autovetores para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre operadores lineares em . O objetivo é mostrar que um conjunto , formado por duas bases e de subespaços e , respectivamente, é uma base para . Além disso, precisamos determinar a matriz do operador linear nessa base e encontrar uma base de autovetores para . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, bases e autovetores, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o operador linear . Ele é definido por:
Esse operador pode ser representado por uma matriz. Vamos escrever a matriz de em relação à base padrão de :
Aqui, os coeficientes de T formam a matriz A.
Passo 3
Agora, para mostrar que beta = beta1 cup beta2 é uma base para R^2, precisamos primeiro entender o que são beta1 e beta2. Geralmente, beta1 e beta2 seriam bases para os subespaços U1 e U2, que poderiam ser, por exemplo, autospalhos (espaces próprios) do operador T.
Vamos descobrir os autovalores e autovetores de T, pois isso nos ajudará a identificar U1 e U2.
Passo 4
Para encontrar os autovalores de T, resolvemos a equação característica:
Então, os autovalores são lambda1 = 5 e lambda2 = 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 5:
Resolvemos (A - 5I)v = 0:
3 - 5 & -2 -2 & 3 - 5 x y = -2 & -2 -2 & -2 x y = -2x - 2y -2x - 2y = 0 0
Isso nos dá a equação:
-2x - 2y = 0 implies x + y = 0 implies y = -x
Portanto, os autovetores associados a lambda1 = 5 são múltiplos de (1, -1).
Para lambda2 = 1:
Resolvemos (A - I)v = 0:
3 - 1 & -2 -2 & 3 - 1 x y = 2 & -2 -2 & 2 x y = 2x - 2y -2x + 2y = 0 0
Isso nos dá a equação:
2x - 2y = 0 implies x = y
Portanto, os autovetores associados a lambda2 = 1 são múltiplos de (1, 1).
Passo 6
Agora que temos os autovetores, podemos definir as bases beta1 e beta2:
beta1 = 1 1 , beta2 = 1 -1
Como beta = beta1 cup beta2, temos:
beta = 1 1 , 1 -1
Para verificar se beta é uma base para R^2, precisamos checar se os vetores são linearmente independentes. Claramente, (1,1) e (1,-1) não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes e formam uma base para R^2.
Passo 7
Agora, vamos determinar a matriz [T]beta^beta, que representa o operador T na base beta.
Como beta é uma base de autovetores, sabemos que:
T(v1) = lambda1 v1, T(v2) = lambda2 v2
Onde v1 = 1 1 e v2 = 1 -1 , com lambda1 = 5 e lambda2 = 1.
Portanto, a matriz [T]beta^beta é diagonal, com os autovalores na diagonal:
[T]beta^beta = 5 & 0 0 & 1
Passo 8
Por fim, já identificamos uma base de autovetores para R^2:
1 1 , 1 -1
Esses vetores são os autovetores correspondentes aos autovalores lambda1 = 5 e lambda2 = 1, respectivamente, e formam uma base de autovetores para R^2.
Resposta
Assim, mostramos que o conjunto beta = beta1 cup beta2 é uma base para R^2. A matriz do operador linear T na base beta é: