Considere o operador linear T: R^3 R^3 dado por:
T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y+2 z)
e as seguintes bases para o espaço vetorial real R^3:
beta=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), Gamma=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)
Determine as matrizes [T]beta^beta e [T]beta^Gamma.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(y+z,;x+z,;x+y+2z)
e dá as bases
beta=e1=(1,0,0),,e2=(0,1,0),,e3=(0,0,1) e
Gamma=v1=(1,0,1),,v2=(0,1,1),,v3=(0,0,1).
Precisamos encontrar as matrizes de T na forma [T]beta^beta e [T]beta^Gamma. Para isso vamos:
  1. Calcular T(ei) para i=1,2,3.
  2. Montar [T]beta^beta usando estas imagens na base beta.
  3. Expressar cada T(ei) em coordenadas de Gamma e montar [T]beta^Gamma.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de beta:
T(e1)=T(1,0,0)=(0,;1,;1), T(e2)=T(0,1,0)=(1,;0,;1), T(e3)=T(0,0,1)=(1,;1,;2)

Passo 3

Na base padrão beta, as coordenadas de T(ei) são simplesmente as próprias componentes. Logo
[T]beta^beta = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 ,
onde a i-ésima coluna é T(ei).

Passo 4

Para passar ao sistema de coordenadas Gamma, resolvemos de modo geral
a,v1+b,v2+c,v3 =a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1) =(a,;b,;a+b+c)
igual a um vetor (x,y,z). Daí
a=x, b=y, c=z-x-y
Aplicando a cada T(ei):
  • Para T(e1)=(0,1,1) obtemos (a,b,c)=(0,1,1-0-1)=(0,1,0).
  • Para T(e2)=(1,0,1) obtemos (a,b,c)=(1,0,1-1-0)=(1,0,0).
  • Para T(e3)=(1,1,2) obtemos (a,b,c)=(1,1,2-1-1)=(1,1,0).

Passo 5

As coordenadas (a,b,c) de cada T(ei) em Gamma formam as colunas de [T]beta^Gamma. Assim
[T]beta^Gamma = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Resposta

[T]beta^beta = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 , [T]beta^Gamma = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0

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