EXEMPLO: Verifique se o conjunto R^2 é ou não um espaço vetorial definida as operações a seguir:
Soma: (x 1, y 1)+(x 2, y 2)=(x 1+x 2, y 1+y 2)
Multiplicação por escalar: r(x, y)=(x, r y)
A1) (u+v)+w=u+(v+w)
Seja os vetores u=(u 1, u 2), v=(v 1, v 2), w=(w 1, w 2) in R^2, logo temos:

Passo 1

Estamos em R^2 com a soma
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2)
e queremos verificar o axioma A1:
(u+v)+w ;=; u+(v+w)

Passo 2

Sejam
u=(u1,u2), v=(v1,v2), w=(w1,w2)inR^2
Então
u+v = (u1+v1,;u2+v2),
logo
(u+v)+w = l((u1+v1)+w1,;(u2+v2)+w2r)
Pela associatividade na soma de reais temos
(u1+v1)+w1 = u1+(v1+w1) e (u2+v2)+w2 = u2+(v2+w2),
de onde
(u+v)+w = l(u1+(v1+w1),;u2+(v2+w2)r) = u + (v+w)

Resposta

O axioma A1 de associatividade da soma está satisfeito.

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