12- Provar que os vetores (-2,4) e (1,-2) são LI.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^2:
v1 = (-2,4), v2 = (1,-2)
e pede para mostrar que eles são linearmente independentes. Vamos usar a definição: vetores são linearmente independentes se a combinação
alpha,v1 + beta,v2 = (0,0)
implica necessariamente alpha=0 e beta=0.

Passo 2

Escrevendo explicitamente
alpha(-2,4) + beta(1,-2) = (0,0)
obtemos o sistema de equações nas componentes:
-2alpha + beta = 0, 4alpha - 2beta = 0

Passo 3

Da primeira equação segue
beta = 2alpha
Substituindo na segunda:
4alpha - 2(2alpha) = 4alpha - 4alpha = 0,
que é uma identidade para todo alpha. Logo qualquer par (alpha,beta) com beta=2alpha satisfaz o sistema.

Passo 4

Em particular, tomando alpha=1 temos beta=2 e uma combinação não-trivial
1cdot(-2,4) + 2cdot(1,-2) = (-2+2,;4-4) = (0,0)
Isso mostra que existe solução diferente de alpha=beta=0, ou seja, v1 e v2 são linearmente dependentes, não independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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