12- Provar que os vetores
e
são LI.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
e pede para mostrar que eles são linearmente independentes. Vamos usar a definição: vetores são linearmente independentes se a combinação
implica necessariamente
e
.
Passo 2
Escrevendo explicitamente
obtemos o sistema de equações nas componentes:
Passo 3
Da primeira equação segue
Substituindo na segunda:
que é uma identidade para todo
alpha . Logo qualquer par
(alpha,beta) com
beta=2alpha satisfaz o sistema.
Passo 4
Em particular, tomando
alpha=1 temos
beta=2 e uma combinação não-trivial
Isso mostra que existe solução diferente de
alpha=beta=0 , ou seja,
v1 e
v2 são linearmente dependentes, não independentes.
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes.