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Determine as derivadas que se pede em cada item;
a) y=x^4+6 x^2-7 x, d^3 yd x^3 e d^5 yd x^5;

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^4 + 6x^2 - 7x
e pede d^3ydx^3 e d^5ydx^5. O conteúdo aqui é derivação de polinômio usando a regra do expoente, que diz
ddxl(x^nr)=n,x^n-1

Passo 2

Vamos aplicar a regra do expoente sucessivamente para encontrar até a terceira derivada:
y' = ddx(x^4) + ddx(6x^2) - ddx(7x) =4x^3 + 12x -7,
y'' = ddx(4x^3) + ddx(12x) - ddx(7) =12x^2 +12,
y^(3) = ddx(12x^2) + ddx(12) =24x + 0 = 24x

Passo 3

Como y é um polinômio de grau 4, sua quarta derivada é constante e a quinta derivada é zero:
y^(4) = ddx(24x) = 24,
y^(5) = ddx(24) = 0

Resposta

d^3ydx^3 = 24x, d^5ydx^5 = 0.

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