Derive as funções abaixo:
k) y=\frac{x-1}{\sqrt{x}}$;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x-1raizx
O conteúdo aqui é a regra da potência e manipulação de expoentes. Vamos reescrever a função em potências de x para aplicar a fórmula
ddxl(x^nr)=n,x^n-1.

Passo 2

Reescrevendo
y = x-1raizx = (x-1),x^-tfrac12
e distribuindo o produto, obtemos
y = xcdot x^-tfrac12 - 1cdot x^-tfrac12 = x^1-tfrac12 - x^-tfrac12 = x^tfrac12 - x^-tfrac12

Passo 3

Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência:
ddxl(x^tfrac12r) =tfrac12,x^-tfrac12, ddxl(x^-tfrac12r) =-tfrac12,x^-tfrac32
Portanto
y' = tfrac12,x^-tfrac12 ;-;l(-tfrac12,x^-tfrac32r) = tfrac12,x^-tfrac12 + tfrac12,x^-tfrac32

Passo 4

Para simplificar, fatoramos tfrac12,x^-tfrac32:
y' = tfrac12,x^-tfrac32l(x^1 + 1r) = tfrac12,x^-tfrac32(x+1)
Em termos de raízes, x^-tfrac32 = 1/x^3/2, logo
y' = x+12,x^3/2

Resposta

y' = x+12,x^3/2

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