Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:
lim (x, y) (0,0) 2 x^2+3 x y+4 y2 x^4+x^2 y+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)2x^2+3xy+4y2x^4+x^2y+y^2
Aqui usamos o método das trajetórias em limites de funções de duas variáveis para ver se a expressão tende a um valor único (real ou infinito) ao aproximar-se de (0,0) por caminhos diferentes.

Passo 2

Trajetória y=0.
Substituindo em 2x^2+3xy+4y2x^4+x^2y+y^2 vem
2x^2+0+02x^4+0+0 =2x^22x^4 =1x^2,
que, quando xto0, tende a +infty.

Passo 3

Trajetória y=-x^2.
Substituindo,
2x^2+3x(-x^2)+4(-x^2)2x^4+x^2(-x^2)+(-x^2)^2 =2x^2-3x^3-4x^22x^4-x^4+x^4 =-2x^2-3x^32x^4
Para xto0 (tomando x positivo), o termo dominante no numerador é -2x^2, então
-2x^22x^4=-1x^2to -infty

Passo 4

Como ao aproximar-se de (0,0) por y=0 o quociente vai para +infty e por y=-x^2 vai para -infty, não há valor único (nem mesmo infinito) para o limite.

Resposta

O limite não existe.

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