[11] Determinine a derivada da inversa de f (restrita a um intervalo onde f é invertível) nos pontos indicados. [Curiosidade: como dito em aula as inversas das funções seno e cossseno são ditas arcosseno e arcocosseno e são denotadas arcsen e arccos, respectivamente]
f(x)=sen(x), x0 in(-pi2, pi2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função inversa de
f(x)=sin(x)
restrita ao intervalo l(-tfracpi2,tfracpi2r), isto é, queremos
l(f^-1r)'l(y0r)
no ponto y0=f(x0), com x0inl(-tfracpi2,tfracpi2r).
O conteúdo aqui é a fórmula da derivada da inversa: se y0=f(x0) e f'(x0)neq0, então
l(f^-1r)'l(y0r) =1f'(x0)

Passo 2

Calculamos f'(x) para f(x)=sin(x). Usando a derivada do seno, temos
f'(x)=cos(x)

Passo 3

Aplicando a fórmula da inversa em x0, com y0=f(x0), obtemos
l(f^-1r)'l(y0r) =1f'(x0) =1cos(x0)

Passo 4

Se quisermos escrever isto em função de y, basta notar que y0=sin(x0) e que
cos(x0)=raiz1-sin^2(x0)=raiz1-y0^2. Logo
l(f^-1r)'l(y0r) =1raiz1-y0^2

Resposta

l(f^-1r)'l(y0r) =1cos(x0) ou 1raiz1-y0^2, y0=sin(x0),;x0inl(-tfracpi2,tfracpi2r)

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