[11] Determinine a derivada da inversa de f (restrita a um intervalo onde f é invertível) nos pontos indicados. [Curiosidade: como dito em aula as inversas das funções seno e cossseno são ditas arcosseno e arcocosseno e são denotadas arcsen e arccos, respectivamente]
f(x)=cos (x), x0 in(0, pi)

Passo 1

O enunciado dá f(x)=cos(x) restrita a (0,pi), onde é estritamente decrescente e invertível. Denotamos a inversa por
f^-1(y)=arccos(y)
e precisamos encontrar (f^-1)' nos pontos do tipo y0=f(x0), com x0in(0,pi). Vamos usar a fórmula da derivada da inversa.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de f:
f'(x)=ddxl(cos(x)r)=-sin(x)

Passo 3

A fórmula da derivada da função inversa diz
(f^-1)'(y0) =1f'l(f^-1(y0)r)
Como y0=f(x0), temos f^-1(y0)=x0.

Passo 4

Substituindo x0 em f'(x), obtemos
(f^-1)'l(f(x0)r) =1f'(x0) =1-sin(x0) =-1sin(x0)

Passo 5

Se escrevermos em função de y=cos(x0), então
sin(x0) =raiz1-cos^2(x0) =raiz1-y^2,
ficando
(f^-1)'(y) =-1raiz1-y^2,
que é a conhecida derivada de arccos(y).

Resposta

(f^-1)'l(f(x0)r) =-1sin(x0),
ou, em notação usual,
ddyl(arccos(y)r) =-1raiz1-y^2

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