13- Uma herança de \mathrm{R} \ 240.000,00$ deve ser dividida em partes diretamente proporcionais as idades dos herdeiros que são 36, 40 e 44 anos. Quanto receberá cada herdeiro?

Passo 1

O enunciado dá uma herança total de \mathrm{R}\$\,240.000{,}00 e três herdeiros com idades \,36\,,\,40\,,\,44 anos.
O que se pede: determinar quanto receberá cada herdeiro quando a divisão é feita em partes diretamente proporcionais às idades.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): dividir uma quantia total em partes proporcionais a números significa atribuir a cada parte uma fração do total igual à razão entre o número correspondente e a soma de todos os números.
Se chamarmos as idades de \,a_1,a_2,a_3 e o total de herança de \,T, então a parte do herdeiro i é
\text{parte}_i = \frac{a_i}{a_1+a_2+a_3}\cdot T.
Aqui:
  • \,a_i é a idade do herdeiro i,
  • \,a_1+a_2+a_3 é a soma de todas as idades (o total de “unidades” em que dividimos a herança),
  • \,T é o total de dinheiro a repartir.
    Outra maneira prática (muito usada na prova): calcular o valor de uma “unidade” (uma unidade corresponde a 1 ano de idade) como
\text{valor da unidade}=\frac{T}{a_1+a_2+a_3},
e então multiplicar esse valor por cada idade.

Passo 3

Calcular a soma das idades (as “unidades” totais):
a_1+a_2+a_3 = 36+40+44.
Efetuando a soma:
36+40=76,\qquad 76+44=120.
Portanto a soma das idades é \,120.

Passo 4

Calcular o valor de uma unidade (valor correspondente a 1 ano de idade):
\text{valor da unidade}=\frac{T}{120}=\frac{\mathrm{R}\$\,240.000{,}00}{120}.
Fazendo a divisão: dividir por 120 é o mesmo que dividir por 12 e depois por 10, ou simplesmente observar que
\frac{240.000}{120}=2.000.
Portanto
\text{valor da unidade}=\mathrm{R}\$\,2.000{,}00.

Passo 5

Multiplicar o valor da unidade por cada idade para obter cada parte.
Para o primeiro herdeiro (idade \,36):
\text{parte}_1 = 36\cdot(\mathrm{R}\$\,2.000{,}00)=36\cdot 2.000=\mathrm{R}\$\,72.000{,}00.
Para o segundo herdeiro (idade \,40):
\text{parte}_2 = 40\cdot(\mathrm{R}\$\,2.000{,}00)=40\cdot 2.000=\mathrm{R}\$\,80.000{,}00.
Para o terceiro herdeiro (idade \,44):
\text{parte}_3 = 44\cdot(\mathrm{R}\$\,2.000{,}00)=44\cdot 2.000=\mathrm{R}\$\,88.000{,}00.

Passo 6

Verificação rápida: somar as partes para checar se voltamos ao total:
\mathrm{R}\$\,72.000{,}00+\mathrm{R}\$\,80.000{,}00+\mathrm{R}\$\,88.000{,}00=\mathrm{R}\$\,240.000{,}00,
ou seja, está consistente com o total dado. Bom trabalho — deu tudo certo!

Resposta

\mathrm{R}\$\,72.000{,}00
\mathrm{R}\$\,80.000{,}00
\mathrm{R}\$\,88.000{,}00

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