9- A caixa d’água de um hospital tem a forma de um cilindro circular reto com 10 metros de altura e capacidade para 30.000 litros de água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Que quantidade de água foi despejada no reservatório até esse momento? Mantendo-se a vazão constante, em quanto tempo o reservatório estará completamente cheio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas.
Informações dadas:
  • A caixa d’água é um cilindro circular reto com altura 10\\ \text{m}.
  • A capacidade total é 30\,000 litros de água.
  • A caixa, completamente vazia, foi enchida com vazão constante.
  • Após 100 minutos de enchimento, a altura da água chegou a 3\\ \text{m}.
Perguntas:
  1. Que quantidade de água foi despejada no reservatório até esse momento (isto é, até a altura de 3\\ \text{m})?
  2. Mantendo-se a vazão constante, em quanto tempo o reservatório estará completamente cheio?
Dados que extraio e que vou usar:
  • Conversão entre litros e metros cúbicos: 1\\ \text{m}^3 = 1000\\ \text{L}.
  • Volume do cilindro (fórmula): \displaystyle V = A\cdot h, onde A é a área da base (em \text{m}^2) e h é a altura (em \text{m}).

Passo 2

Primeiro passo prático: determinar a área da base do cilindro usando a capacidade total.
Explicação da fórmula: para um cilindro reto a área da base multiplicada pela altura dá o volume total. Aqui o volume total já está em litros; para ficar coerente, converto para metros cúbicos usando 1\\ \text{m}^3 = 1000\\ \text{L}.
Cálculo do volume total em metros cúbicos:
\text{Volume total} = \frac{30\,000\\ \text{L}}{1000\\ \text{L/m}^3} = 30\\ \text{m}^3.
Agora aplico \displaystyle V = A\cdot h com V=30\\ \text{m}^3 e h=10\\ \text{m} para achar A:
A = \frac{V}{h} = \frac{30}{10} = 3\\ \text{m}^2.
Interpretação: a área da base da caixa é \displaystyle 3\\ \text{m}^2. Isso faz sentido e será útil para achar volumes parciais (até uma certa altura).

Passo 3

Calcular a quantidade de água até a altura de 3\\ \text{m}.
Usando a mesma fórmula do cilindro, o volume até altura h=3\\ \text{m} é:
V_3 = A\cdot 3 = 3\cdot 3 = 9\\ \text{m}^3.
Converter para litros (porque o enunciado usa litros):
V_3 = 9\\ \text{m}^3 \cdot 1000\\ \frac{\text{L}}{\text{m}^3} = 9000\\ \text{L}.
Explicação didática rápida: multiplicou-se a área da base pela altura parcial para obter o volume parcial; a conversão para litros é só multiplicar por 1000.

Passo 4

Encontrar a vazão constante a partir do volume que entrou nos primeiros 100 minutos.
Definição de vazão volumétrica média (constante aqui): \displaystyle Q=\frac{\text{volume}}{\text{tempo}}. Vou manter duas formas úteis: em \text{m}^3/\text{min} e em \text{L}/\text{min}.
Usando V_3=9\\ \text{m}^3 em 100 minutos:
Q = \frac{9\\ \text{m}^3}{100\\ \text{min}} = 0{,}09\\ \frac{\text{m}^3}{\text{min}}.
Em litros por minuto:
Q = \frac{9000\\ \text{L}}{100\\ \text{min}} = 90\\ \frac{\text{L}}{\text{min}}.
Comentário: saber a vazão é essencial para calcular quanto tempo leva para encher todo o reservatório.

Passo 5

Calcular o tempo total necessário para encher completamente o reservatório com essa vazão constante.
Usar a relação \displaystyle t=\frac{\text{volume total}}{Q}. Trabalho em \text{m}^3 e \text{m}^3/\text{min}:
Volume total é 30\\ \text{m}^3 e Q=0{,}09\\ \text{m}^3/\text{min}, então
t_{\text{total}} = \frac{30}{0{,}09}\\ \text{min} = \frac{30}{9/100}\\ \text{min} = 100\cdot\frac{30}{9}\\ \text{min} = 100\cdot\frac{10}{3}\\ \text{min} = \frac{1000}{3}\\ \text{min}.
Simplificando em representação mista:
t_{\text{total}} = 333\dfrac{1}{3}\\ \text{min}.

Passo 6

Converter 333\dfrac{1}{3} minutos para horas, minutos e segundos (mais intuitivo).
Dividindo por 60 para obter horas:
\frac{1000}{3}\\ \text{min} = \frac{1000}{3}\cdot\frac{1}{60}\\ \text{h} = \frac{50}{9}\\ \text{h} = 5+\frac{5}{9}\\ \text{h}.
\displaystyle \frac{5}{9} de hora em minutos é \displaystyle \frac{5}{9}\cdot 60 = 33\dfrac{1}{3} minutos, ou seja 33 minutos e \dfrac{1}{3} de minuto que é 20 segundos.
Logo:
t_{\text{total}} = 333\dfrac{1}{3}\\ \text{min} = 5\\ \text{h}\\\ 33\\ \text{min}\\\ 20\\ \text{s}.
Observação útil (não pedida explicitamente): o tempo restante a partir dos 100 minutos já transcorridos é
t_{\text{restante}} = \frac{1000}{3}-100 = \frac{700}{3}\\ \text{min} = 233\dfrac{1}{3}\\ \text{min} = 3\\ \text{h}\\\ 53\\ \text{min}\\\ 20\\ \text{s}.

Resposta

9000\\ \text{litros}
\dfrac{1000}{3}\\ \text{min} = 333\dfrac{1}{3}\\ \text{min} = 5\\ \text{h}\\\ 33\\ \text{min}\\\ 20\\ \text{s}

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