9- A caixa d’água de um hospital tem a forma de um cilindro circular reto com 10 metros de altura e capacidade para 30.000 litros de água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Que quantidade de água foi despejada no reservatório até esse momento? Mantendo-se a vazão constante, em quanto tempo o reservatório estará completamente cheio?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas.
Informações dadas:
- A caixa d’água é um cilindro circular reto com altura
. - A capacidade total é
litros de água. - A caixa, completamente vazia, foi enchida com vazão constante.
- Após
minutos de enchimento, a altura da água chegou a .
Perguntas:
- Que quantidade de água foi despejada no reservatório até esse momento (isto é, até a altura de
)? - Mantendo-se a vazão constante, em quanto tempo o reservatório estará completamente cheio?
Dados que extraio e que vou usar:
- Conversão entre litros e metros cúbicos:
. - Volume do cilindro (fórmula):
, onde é a área da base (em ) e é a altura (em ).
Passo 2
Primeiro passo prático: determinar a área da base do cilindro usando a capacidade total.
Explicação da fórmula: para um cilindro reto a área da base multiplicada pela altura dá o volume total. Aqui o volume total já está em litros; para ficar coerente, converto para metros cúbicos usando
.
Cálculo do volume total em metros cúbicos:
Agora aplico
com
e
para achar
:
Interpretação: a área da base da caixa é
. Isso faz sentido e será útil para achar volumes parciais (até uma certa altura).
Passo 3
Calcular a quantidade de água até a altura de
.
Usando a mesma fórmula do cilindro, o volume até altura
é:
Converter para litros (porque o enunciado usa litros):
Explicação didática rápida: multiplicou-se a área da base pela altura parcial para obter o volume parcial; a conversão para litros é só multiplicar por
.
Passo 4
Encontrar a vazão constante a partir do volume que entrou nos primeiros
minutos.
Definição de vazão volumétrica média (constante aqui):
. Vou manter duas formas úteis: em
e em
.
Usando
em
minutos:
Em litros por minuto:
Comentário: saber a vazão é essencial para calcular quanto tempo leva para encher todo o reservatório.
Passo 5
Calcular o tempo total necessário para encher completamente o reservatório com essa vazão constante.
Usar a relação
. Trabalho em
e
:
Volume total é
e
, então
Simplificando em representação mista:
Passo 6
Converter
minutos para horas, minutos e segundos (mais intuitivo).
Dividindo por
para obter horas:
Logo:
Observação útil (não pedida explicitamente): o tempo restante a partir dos
minutos já transcorridos é