Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^2. Justifique as suas respostas.

Passo 1

Temos o conjunto C=(x,y)inR^2mid x=-3y. O conteúdo é subespaços vetoriais em R^2, e para mostrar que C é subespaço precisamos verificar três propriedades: conter o vetor zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero: basta escolher y=0. Então x=-3cdot0=0, logo (0,0)in C.

Passo 3

Fechamento em adição: sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em C, isto é, x1=-3y1 e x2=-3y2. Então
u+v=(x1+x2,,y1+y2)e x1+x2=-3y1-3y2=-3(y1+y2),
o que mostra que u+vin C.

Passo 4

Fechamento em multiplicação por escalar: seja alphainR e u=(x1,y1)in C com x1=-3y1. Então
alpha u=(alpha x1,,alpha y1)e alpha x1=alpha(-3y1)=-3(alpha y1),
logo alpha uin C.

Resposta

C é subespaço vetorial de R^2.

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