12 Seja W um subespaço de um espaço com produto interno V. Se dim V, mostre que existe uma base ortonormal de W, que é parte de uma base ortonormal de V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço interno de dimensão finita V, dado um subespaço W, podemos encontrar uma base ortonormal de W e estendê-la a uma base ortonormal de V.

Passo 2

Primeiro: como dim W, escolhemos uma base qualquer w1,dots,wk de W e aplicamos o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais e1,dots,ek que geram W. Ou seja, cada ei é obtido a partir dos wj garantindo lang<= ei,ejrang<==0 para ineq j e |ei|=1.
Segundo: definimos o complemento ortogonal de W em V como
W^perp=vin V:lang<= v,wrang<==0;forall win W
Como V é de dimensão finita, vale a decomposição direta
V=Woplus W^perp,
o que implica dim W+dim W^perp=dim V.

Passo 3

Terceiro: em W^perp, escolhemos uma base qualquer u1,dots,un-k (onde n=dim V) e aplicamos Gram–Schmidt nela, obtendo uma base ortonormal f1,dots,fn-k de W^perp.

Passo 4

Por fim, a união
e1,dots,ek,;f1,dots,fn-k
é uma base ortonormal de V, pois os ei se mantêm ortonormais entre si, os fj entre si, e qualquer ei é ortogonal a qualquer fj por construção.
Assim concluímos que a base ortonormal e1,dots,ek de W foi estendida a uma base ortonormal de V.

Resposta

Existe sempre uma base ortonormal de W que, unida a uma base ortonormal de W^perp, forma uma base ortonormal de V, ou seja, qualquer base ortonormal de W pode ser estendida a uma base ortonormal de V.

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