12 Seja
um subespaço de um espaço com produto interno
. Se
, mostre que existe uma base ortonormal de
, que é parte de uma base ortonormal de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço interno de dimensão finita
, dado um subespaço
, podemos encontrar uma base ortonormal de
e estendê-la a uma base ortonormal de
.
Passo 2
Primeiro: como
, escolhemos uma base qualquer
de
e aplicamos o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais
que geram
. Ou seja, cada
é obtido a partir dos
garantindo
para
e
.
Segundo: definimos o complemento ortogonal de em
como
Segundo: definimos o complemento ortogonal de
Como
é de dimensão finita, vale a decomposição direta
o que implica
.
Passo 3
Terceiro: em
, escolhemos uma base qualquer
(onde
) e aplicamos Gram–Schmidt nela, obtendo uma base ortonormal
de
.
Passo 4
Por fim, a união
é uma base ortonormal de
, pois os
se mantêm ortonormais entre si, os
entre si, e qualquer
é ortogonal a qualquer
por construção.
Assim concluímos que a base ortonormal de
foi estendida a uma base ortonormal de
.
Assim concluímos que a base ortonormal
Resposta
Existe sempre uma base ortonormal de
que, unida a uma base ortonormal de
, forma uma base ortonormal de
, ou seja, qualquer base ortonormal de
pode ser estendida a uma base ortonormal de
.