11-Encontre o comprimento de arco do gráfico de r(t)=t^{2} i+(\cos t+t sent ) j+( sent -t \cos t) k.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva \displaystyle r(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+\bigl(\cos t + t\operatorname{sen} t\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(\operatorname{sen} t - t\cos t\bigr)\,\mathbf{k}
num intervalo de parâmetros, tipicamente de t=0 até t=a.
O conteúdo a usar é a fórmula do comprimento de arco em \mathbb{R}^3:
s=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.
Passo 2
Calculamos a derivada vetorial r'(t).
r'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2},\;\cos t + t\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t - t\cos t\bigr) =(2t,\;-\,\operatorname{sen} t + \operatorname{sen} t + t\cos t,\;\cos t - \cos t + t\operatorname{sen} t).