11-Encontre o comprimento de arco do gráfico de r(t)=t^{2} i+(\cos t+t sent ) j+( sent -t \cos t) k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva \displaystyle r(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+\bigl(\cos t + t\operatorname{sen} t\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(\operatorname{sen} t - t\cos t\bigr)\,\mathbf{k}
num intervalo de parâmetros, tipicamente de t=0 até t=a.
O conteúdo a usar é a fórmula do comprimento de arco em \mathbb{R}^3:
s=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada vetorial r'(t).
r'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2},\;\cos t + t\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t - t\cos t\bigr) =(2t,\;-\,\operatorname{sen} t + \operatorname{sen} t + t\cos t,\;\cos t - \cos t + t\operatorname{sen} t).
Simplificando cada componente, obtemos
r'(t)=(2t,\;t\cos t,\;t\operatorname{sen} t).

Passo 3

Agora encontramos a norma de r'(t):
\bigl\|r'(t)\bigr\| =\sqrt{(2t)^{2}+(t\cos t)^{2}+(t\operatorname{sen} t)^{2}} =\sqrt{4t^{2}+t^{2}\bigl(\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t\bigr)} =\sqrt{4t^{2}+t^{2}} =\sqrt{5\,t^{2}} =\sqrt{5}\,t,
válido para t\ge0.

Passo 4

Integramos de t=0 até t=a:
s(a)=\int_{0}^{a}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt =\int_{0}^{a}\sqrt{5}\,t\,dt =\sqrt{5}\,\frac{t^{2}}{2}\Bigg|_{0}^{a} =\frac{\sqrt{5}}{2}\,a^{2}.

Resposta

O comprimento de arco da curva para 0\le t\le a é
\boxed{s(a)=\frac{\sqrt{5}}{2}\,a^{2}}.
Em particular, se os limites fossem t=b até t=c, teríamos
L=\frac{\sqrt{5}}{2}\,\bigl(c^{2}-b^{2}\bigr).

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