Escreva as funções abaixo em uma série de Fourier no intervalo (-\pi, \pi) :
f(x)=\operatorname{cosh} (x);

Passo 1

O enunciado pede expandir f(x)=\operatorname{cosh}(x) em série de Fourier no intervalo (-\pi,\pi). Como \operatorname{cosh}(x) é uma função par, só teremos termos de cosseno e os coeficientes de seno serão nulos.

Passo 2

A série de Fourier de uma função par f em (-\pi,\pi) é
f(x) \;=\;\frac{a_{0}}{2} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx),
com
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(x)\,dx, \qquad a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(x)\cos(nx)\,dx,
e b_{n}=0.

Passo 3

Como \operatorname{cosh}(x) é par,
a_{0} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(x)\,dx =\frac{2}{\pi}\bigl[\operatorname{sinh}(x)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2\operatorname{sinh}(\pi)}{\pi},
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\frac{a_{0}}{2} =\frac{\operatorname{sinh}(\pi)}{\pi}.

Passo 4

Também por paridade,
a_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(x)\cos(nx)\,dx.
Aplicando integração por partes duas vezes, chega-se ao resultado
\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(x)\cos(nx)\,dx =\frac{\operatorname{sinh}(\pi)\,(-1)^{n}}{n^{2}+1}.

Passo 5

Substituindo na expressão de a_{n}, obtemos, para n\ge1,
a_{n} =\frac{2}{\pi}\,\frac{\operatorname{sinh}(\pi)\,(-1)^{n}}{n^{2}+1}.

Resposta

\operatorname{cosh}(x) =\frac{\operatorname{sinh}(\pi)}{\pi} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,\operatorname{sinh}(\pi)\,(-1)^{n}}{\pi\,(n^{2}+1)}\;\cos(nx).

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