3- Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória C dada pelas equações x=t e y=-t^{2}. Se z=x^{2}+y^{2}, determine d z / d s ao longo da curva C no instante em que a partícula está no ponto P(2,-4).

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula que se move segundo as parametrizações
x(t)=t,\quad y(t)=-t^{2}
e define a função
z(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Queremos encontrar \dfrac{dz}{ds} ao longo da curva C no instante em que a partícula está em P(2,-4). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia combinada com a definição de derivada em relação ao comprimento de arco s.

Passo 2

Por definição, a derivada de z em relação ao comprimento de arco s satisfaz
\frac{dz}{ds}=\frac{\frac{dz}{dt}}{\frac{ds}{dt}}.

Passo 3

Primeiro, calculemos \dfrac{dz}{dt}. Como z=x^{2}+y^{2}, pela regra da cadeia temos
\frac{dz}{dt}=2x\,\frac{dx}{dt}+2y\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{dx}{dt}=1 e \dfrac{dy}{dt}=-2t.

Passo 4

Substituindo x=t, y=-t^{2}, \dfrac{dx}{dt}=1 e \dfrac{dy}{dt}=-2t, obtém-se
\frac{dz}{dt}=2t\cdot1 + 2(-t^{2})(-2t)=2t +4t^{3}.

Passo 5

Em seguida, calculamos a velocidade \dfrac{ds}{dt}, que é
\frac{ds}{dt}=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}} =\sqrt{1 + ( -2t)^{2}} =\sqrt{1+4t^{2}}.

Passo 6

O ponto P(2,-4) corresponde a t=2, pois x(2)=2 e y(2)=-4. Então
\frac{dz}{dt}\Big|_{t=2}=2\cdot2+4\cdot2^{3}=4+32=36, \qquad \frac{ds}{dt}\Big|_{t=2}=\sqrt{1+4\cdot2^{2}}=\sqrt{17}.
Logo
\frac{dz}{ds} =\frac{\frac{dz}{dt}}{\frac{ds}{dt}} =\frac{36}{\sqrt{17}}.

Resposta

\frac{dz}{ds}\Bigg|_{P(2,-4)} = \frac{36}{\sqrt{17}}.

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