6- Considere a superfície
.
a) Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto
.
b) Determine equações paramétrica da reta que é normal à superfície no ponto
.
c) Determine o ângulo agudo que o plano tangente no ponto
faz com o plano
.
a) Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto
b) Determine equações paramétrica da reta que é normal à superfície no ponto
c) Determine o ângulo agudo que o plano tangente no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície implícita
e pede:
(a) o plano tangente em ,
(b) a reta normal ali,
(c) o ângulo agudo entre esse plano tangente e o plano .
Para isso, vamos definir
(a) o plano tangente em
(b) a reta normal ali,
(c) o ângulo agudo entre esse plano tangente e o plano
Para isso, vamos definir
de modo que a superfície é
, usar o gradiente
para obter a normal e aplicar fórmulas de plano tangente, reta normal e ângulo entre planos.
Passo 2
Calcular
. Por definição,
Como
temos
Passo 3
Avaliar
em
. Substituindo
,
,
:
Logo
O plano tangente a
em
é dado por
isto é,
e, simplificando,
Passo 4
A reta normal à superfície em
tem ponto
e direção dada por
. Uma parametrização é
Passo 5
O ângulo agudo
entre o plano tangente e o plano
é o mesmo ângulo entre as normais desses planos. A normal do plano
é
. Então
Como é agudo,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)