6- Considere a superfície x z-y z^{3}+y z^{2}=2.
a) Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto (2,-1,1).
b) Determine equações paramétrica da reta que é normal à superfície no ponto (2,-1,1).
c) Determine o ângulo agudo que o plano tangente no ponto (2,-1,1) faz com o plano x y.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície implícita
x\,z - y\,z^{3} + y\,z^{2} = 2
e pede:
(a) o plano tangente em (2,-1,1),
(b) a reta normal ali,
(c) o ângulo agudo entre esse plano tangente e o plano xy.
Para isso, vamos definir
F(x,y,z)=x\,z - y\,z^{3} + y\,z^{2}-2
de modo que a superfície é F(x,y,z)=0, usar o gradiente \nabla F para obter a normal e aplicar fórmulas de plano tangente, reta normal e ângulo entre planos.

Passo 2

Calcular \nabla F. Por definição,
\nabla F =\Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y},\,\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr).
Como
F(x,y,z)=x\,z - y\,z^{3} + y\,z^{2}-2,
temos
\frac{\partial F}{\partial x}=z,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=-z^{3}+z^{2},\quad \frac{\partial F}{\partial z}=x - 3y\,z^{2} + 2y\,z.

Passo 3

Avaliar \nabla F em (2,-1,1). Substituindo x=2, y=-1, z=1:
\frac{\partial F}{\partial x}(2,-1,1)=1,\quad \frac{\partial F}{\partial y}(2,-1,1)=-1+1=0,\quad \frac{\partial F}{\partial z}(2,-1,1)=2 -3(-1)\cdot1^{2}+2(-1)\cdot1=2+3-2=3.
Logo
\nabla F(2,-1,1)=(1,\,0,\,3).
O plano tangente a F=0 em (2,-1,1) é dado por
\nabla F(2,-1,1)\cdot\bigl((x,y,z)-(2,-1,1)\bigr)=0,
isto é,
1\,(x-2)+0\,(y+1)+3\,(z-1)=0
e, simplificando,
x + 3z - 5 = 0.

Passo 4

A reta normal à superfície em (2,-1,1) tem ponto (2,-1,1) e direção dada por \nabla F(2,-1,1)=(1,0,3). Uma parametrização é
x=2 + t,\quad y=-1 + 0\cdot t=-1,\quad z=1 + 3t.

Passo 5

O ângulo agudo \theta entre o plano tangente e o plano xy é o mesmo ângulo entre as normais desses planos. A normal do plano xy é (0,0,1). Então
\cos\theta =\frac{(1,0,3)\cdot(0,0,1)}{\|(1,0,3)\|\;\|(0,0,1)\|} =\frac{3}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+3^{2}}\;1} =\frac{3}{\sqrt{10}}.
Como é agudo,
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{10}}\bigr).

Resposta

(a) x + 3z - 5 = 0
(b) \displaystyle x=2+t,\;y=-1,\;z=1+3t
(c) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{10}}\bigr)

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