12- a) Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta x=-5+3 t, y=2 t, z=5+t que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência (-5,0,5).
b) Use as equações paramétricas obtidas na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que esteja a 10 unidades do ponto de referência na direção dos parâmetro crescente.

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma paramétrica
x=-5+3t,\quad y=2t,\quad z=5+t
com direção dada pelo vetor \langle3,2,1\rangle e pede uma parametrização por comprimento de arco s que comece em (-5,0,5) (quando s=0) e siga na mesma orientação (o mesmo sentido de aumento de t). Para isso, precisamos calcular a norma do vetor diretor e depois reescrever t em função de s.

Passo 2

O vetor diretor é
\mathbf v = \langle3,2,1\rangle.
Sua norma é
\|\mathbf v\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}.
Como \dfrac{d\mathbf r}{dt}=\mathbf v, o comprimento de arco desde t=0 até um parâmetro t é
s(t) = \int_{0}^{t}\|\mathbf v\|\,du = \sqrt{14}\,t.

Passo 3

Invertendo, temos
t = \frac{s}{\sqrt{14}}.
Substituindo em \mathbf r(t)=(-5,0,5)+t\langle3,2,1\rangle, obtemos a parametrização por comprimento de arco:
\mathbf r(s) = \bigl(-5,0,5\bigr) + \frac{s}{\sqrt{14}}\bigl\langle3,2,1\bigr\rangle
ou, em coordenadas,
x(s) = -5 + \frac{3}{\sqrt{14}}\,s,\quad y(s) = \frac{2}{\sqrt{14}}\,s,\quad z(s) = 5 + \frac{1}{\sqrt{14}}\,s.

Passo 4

Para achar o ponto que está a 10 unidades do ponto de referência quando s cresce, basta tomar s=10 em \mathbf r(s). Assim,
x(10) = -5 + \frac{3}{\sqrt{14}}\cdot10 = -5 + \frac{30}{\sqrt{14}},
y(10) = \frac{2}{\sqrt{14}}\cdot10 = \frac{20}{\sqrt{14}},
z(10) = 5 + \frac{1}{\sqrt{14}}\cdot10 = 5 + \frac{10}{\sqrt{14}}.

Resposta

a) A parametrização por comprimento de arco é
\boxed{ x(s) = -5 + \frac{3}{\sqrt{14}}\,s,\quad y(s) = \frac{2}{\sqrt{14}}\,s,\quad z(s) = 5 + \frac{1}{\sqrt{14}}\,s, \quad s\ge0. }
b) O ponto a 10 unidades de (-5,0,5) no sentido de t crescente é
\boxed{ \Bigl(-5 + \tfrac{30}{\sqrt{14}},\;\tfrac{20}{\sqrt{14}},\;5 + \tfrac{10}{\sqrt{14}}\Bigr). }

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