12- a) Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
,
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência
.
b) Use as equações paramétricas obtidas na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que esteja a 10 unidades do ponto de referência na direção dos parâmetro crescente.
b) Use as equações paramétricas obtidas na parte (a) para determinar o ponto sobre a reta que esteja a 10 unidades do ponto de referência na direção dos parâmetro crescente.
Passo 1
O enunciado dá a reta em forma paramétrica
com direção dada pelo vetor
e pede uma parametrização por comprimento de arco
que comece em
(quando
) e siga na mesma orientação (o mesmo sentido de aumento de
). Para isso, precisamos calcular a norma do vetor diretor e depois reescrever
em função de
.
Passo 2
O vetor diretor é
Sua norma é
Como
, o comprimento de arco desde
até um parâmetro
é
Passo 3
Invertendo, temos
Substituindo em
, obtemos a parametrização por comprimento de arco:
ou, em coordenadas,
Passo 4
Para achar o ponto que está a
unidades do ponto de referência quando
cresce, basta tomar
em
. Assim,
Resposta
a) A parametrização por comprimento de arco é
b) O ponto a
unidades de
no sentido de
crescente é