3.11 Encontre o limite
lim x 0(x-sen xx-tg x)

Passo 1

A questão pede para calcular o limite . O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas com forma indeterminada, e vamos usar séries de Taylor (Maclaurin) de limx to 0 x - sin xx - tg x e para resolver.

Passo 2

Ao substituir x=0, tanto o numerador quanto o denominador valem zero, ou seja, temos a forma indeterminada tfrac00. Por isso, escolhemos usar as expansões em série de Maclaurin para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

As expansões de Maclaurin até a ordem x^3 são conhecidas:
sin x = x - x^36 + O(x^5)
e

Passo 4

Substituindo essas séries nas diferenças do numerador e do denominador, obtemos:
x - sin x = x - l(x - x^36 + O(x^5)r) = x^36 + O(x^5)

Passo 5

Logo, o quociente fica

Cancelando x - sin xx - tg x = x^36 + O(x^5)-x^33 + O(x^5) e tomando x^3, temos x to 0.

Resposta

(-\tfrac{1}{2})

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