3.11 Encontre o limite
Passo 1
A questão pede para calcular o limite . O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas com forma indeterminada, e vamos usar séries de Taylor (Maclaurin) de
e para resolver.
Passo 2
Ao substituir
, tanto o numerador quanto o denominador valem zero, ou seja, temos a forma indeterminada
. Por isso, escolhemos usar as expansões em série de Maclaurin para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
As expansões de Maclaurin até a ordem
são conhecidas:
e
Passo 4
Substituindo essas séries nas diferenças do numerador e do denominador, obtemos:
Passo 5
Logo, o quociente fica
Cancelando
Resposta
(-\tfrac{1}{2})