a. Provar que
.
b. Sejam
e
inteiros positivos. Estudar
(discutir de acordo com os valores de
e
).
c. Provar que
.
b. Sejam
c. Provar que
Passo 1
Nesse exercício temos três limites envolvendo expressões com raízes quadradas. O conteúdo que vamos usar inclui limites, manipulações algébricas com o conjugado de raízes e o conceito de equivalência assintótica para pequenas potências de x.
Passo 2
Para a parte (a), queremos calcular \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}. Usa-se multiplicação pelo conjugado para ‘‘eliminar’’ as raízes. Multiplicamos numerador e denominador por $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$ e simplificamos.
Passo 3
Para o item (b), começamos de forma análoga: \sqrt{1+xm}-\sqrt{1-xm}. Multiplicando pelo conjugado e simplificando, vemos que o numerador fica equivalente a \;2xm\;/\😭\sqrt{1+xm}+\sqrt{1-x^m}). Para x\to 0^+, este denominador tende a 2, então numerador \sim x^m.
Passo 4
Comparando a equivalência \frac{xm}{xn}=x^{m-n} para x\to 0^+, vemos que se m>n o limite é 0, se m=n o limite é 1, e se m<n o limite diverge para +\infty.
Passo 5
Para a parte ©, temos \frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x}. Novamente multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \(\sqrt{x^2+x+1}+1}), o que faz o numerador virar x^2+x. Dividindo tudo por x e levando x\to 0, obtemos 1/2.
Resposta
a) 1
b) Se m>n, o limite é 0; se m=n, o limite é 1; se m<n, o limite diverge para +∞
c) 1/2
b) Se m>n, o limite é 0; se m=n, o limite é 1; se m<n, o limite diverge para +∞
c) 1/2