a. Provar que lim x 0 raiz1+x-raiz1-xx=1.
b. Sejam m e n inteiros positivos. Estudar lim x 0^+ raiz1+x^m-raiz1-x^mx^n (discutir de acordo com os valores de m e n ).
c. Provar que .

Passo 1

Nesse exercício temos três limites envolvendo expressões com raízes quadradas. O conteúdo que vamos usar inclui limites, manipulações algébricas com o conjugado de raízes e o conceito de equivalência assintótica para pequenas potências de x.

Passo 2

Para a parte (a), queremos calcular \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}. Usa-se multiplicação pelo conjugado para ‘‘eliminar’’ as raízes. Multiplicamos numerador e denominador por $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$ e simplificamos.

Passo 3

Para o item (b), começamos de forma análoga: \sqrt{1+xm}-\sqrt{1-xm}. Multiplicando pelo conjugado e simplificando, vemos que o numerador fica equivalente a \;2xm\;/\😭\sqrt{1+xm}+\sqrt{1-x^m}). Para x\to 0^+, este denominador tende a 2, então numerador \sim x^m.

Passo 4

Comparando a equivalência \frac{xm}{xn}=x^{m-n} para x\to 0^+, vemos que se m>n o limite é 0, se m=n o limite é 1, e se m<n o limite diverge para +\infty.

Passo 5

Para a parte ©, temos \frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x}. Novamente multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \(\sqrt{x^2+x+1}+1}), o que faz o numerador virar x^2+x. Dividindo tudo por x e levando x\to 0, obtemos 1/2.

Resposta

a) 1
b) Se m>n, o limite é 0; se m=n, o limite é 1; se m<n, o limite diverge para +∞
c) 1/2

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