3.14 Encontre a primitiva F de f(x)=1-4 cos (2 x), tal que F(pi)=pi.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f(x)=1-4cos(2x) que satisfaça F(pi)=pi. O conteúdo aqui é cálculo de antiderivadas, usando as regras básicas: integral1,dx=x e integralcos(ax),dx=(1/a)sin(ax).

Passo 2

Vamos calcular a integral indefinida de f(x). Separamos em duas partes:
A integral de 1 é
integral1,dx=x
A integral de -4cos(2x) é
integral-4cos(2x),dx=-4cdot12sin(2x)=-2sin(2x)
Somando as duas contribuições, obtemos a primitiva geral
F(x)=x-2sin(2x)+C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Agora usamos a condição inicial F(pi)=pi para achar C. Substituindo x=pi em F(x), temos
F(pi)=pi-2sin(2pi)+C=pi-2cdot0+C=pi+C
Igualando a pi, vem
pi+C=piRightarrow C=0
Assim, a primitiva que atende à condição é
F(x)=x-2sin(2x)

Resposta

F(x)=x-2\sin(2x)

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