Resolver os problemas de valor inicial,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz essa equação e a condição inicial. Informações relevantes:
- A equação é de primeira ordem (aparece
). - Há um fator
multiplicando , portanto atenção ao ponto (onde a equação escrita assim fica singular). - A condição inicial está em
, que não é um ponto singular para a equação dada (já que ).
Passo 2
Procurando simplificar, nota-se que a expressão
sugere tentar uma substituição que torne combinações como
ou a razão
mais simples. Uma substituição natural é definir
Vou explicar por que isso ajuda e como usar: escrevendo
e aplicando a regra do produto para derivadas, obtemos
Agora substituímos
e
na equação original. Fazendo isso:
Explico cada passo da álgebra para não pular nada:
- No lado esquerdo,
. - No lado direito,
, logo . E ainda há o termo .
Portanto a equação fica
Passo 3
Na expressão obtida há um
igual em ambos os lados, que se cancela. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Como estamos interessados em
próximos de
(onde
), podemos dividir por
e obter uma equação mais simples para
:
Esta é uma equação de primeira ordem autônoma e separável. Vou resolver explicando o conceito de separação de variáveis: escrever todos os termos com
em um lado e os termos com
no outro, de forma a poder integrar. Fazemos
Para integrar o lado esquerdo é útil fazer a substituição auxiliar
, então
. Mas também se pode usar diretamente a fórmula básica
. Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Reescrevendo para isolar
:
ou colocando uma constante alternativa
,
Invertendo:
Para ficar consistente com a forma usada adiante vou escrever
onde
é uma constante arbitrária (é apenas renomear
).
Passo 4
Voltando à variável
usando
, obtemos a solução geral
Agora impondo a condição inicial
: substituindo
,
Isso dá
Substituindo
na expressão para
resulta
Podemos simplificar a fração para uma forma polinomial/racional mais compacta:
Observações importantes (para a prova):
- Durante o processo apareceu também a solução constante
(pois quando ), que corresponde a . Essa solução existe, mas não satisfaz a condição inicial . - A solução encontrada tem singularidade em
(denominador zero). Como a condição inicial está em , a solução única que passa por é válida no intervalo maximal que contém e não contém , tipicamente . Também atenção a , ponto singular da forma original; a solução aqui é considerada em um intervalo que não engloba esses pontos singulares.
Passo 5
Verificação rápida (só para ganhar confiança): é possível derivar
e substituir na equação original para checar que satisfaz
. A conta é direta (derivar usando quociente/produto) e confirma que a solução obtida está correta e satisfaz
.