Resolver os problemas de valor inicial,
t u^{\prime}=(t-u)^{2}+u, u(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
t\,u^{\prime}=(t-u)^{2}+u,\qquad u(1)=2.
O que se pede: encontrar a solução u(t) que satisfaz essa equação e a condição inicial. Informações relevantes:
  • A equação é de primeira ordem (aparece u^{\prime}).
  • Há um fator t multiplicando u^{\prime}, portanto atenção ao ponto t=0 (onde a equação escrita assim fica singular).
  • A condição inicial está em t=1, que não é um ponto singular para a equação dada (já que 1\neq0).

Passo 2

Procurando simplificar, nota-se que a expressão (t-u)^{2} sugere tentar uma substituição que torne combinações como t-u ou a razão u/t mais simples. Uma substituição natural é definir
v(t)=\frac{u(t)}{t}.
Vou explicar por que isso ajuda e como usar: escrevendo u(t)=t\,v(t) e aplicando a regra do produto para derivadas, obtemos
u^{\prime}=v+t\,v^{\prime}.
Agora substituímos u=t v e u^{\prime}=v+t v^{\prime} na equação original. Fazendo isso:
t\big(v+t v^{\prime}\big)=(t-t v)^{2}+t v.
Explico cada passo da álgebra para não pular nada:
  • No lado esquerdo, t(u^{\prime})=t(v+t v^{\prime})=t v+t^{2}v^{\prime}.
  • No lado direito, t-u=t-t v=t(1-v), logo (t-u)^{2}=t^{2}(1-v)^{2}. E ainda há o termo +u=+t v.
    Portanto a equação fica
t v+t^{2}v^{\prime}=t^{2}(1-v)^{2}+t v.

Passo 3

Na expressão obtida há um t v igual em ambos os lados, que se cancela. Subtraindo t v de ambos os lados obtemos
t^{2}v^{\prime}=t^{2}(1-v)^{2}.
Como estamos interessados em t próximos de 1 (onde t\neq0), podemos dividir por t^{2} e obter uma equação mais simples para v:
v^{\prime}=(1-v)^{2}.
Esta é uma equação de primeira ordem autônoma e separável. Vou resolver explicando o conceito de separação de variáveis: escrever todos os termos com v em um lado e os termos com t no outro, de forma a poder integrar. Fazemos
\frac{dv}{(1-v)^{2}}=dt.
Para integrar o lado esquerdo é útil fazer a substituição auxiliar w=1-v, então dw=-dv. Mas também se pode usar diretamente a fórmula básica \int x^{-2}dx=-x^{-1}+C. Integrando ambos os lados:
\int \frac{dv}{(1-v)^{2}}=\int dt
\Rightarrow -\frac{1}{1-v}=t+C,
onde C é constante de integração. Reescrevendo para isolar v:
\frac{1}{1-v}=-t-C,
ou colocando uma constante alternativa A=-C,
\frac{1}{1-v}=A-t.
Invertendo:
1-v=\frac{1}{A-t},
v=1-\frac{1}{A-t}=1+\frac{1}{\,t-A\,}\quad\text{(equivalente, cuidado com sinais)}.
Para ficar consistente com a forma usada adiante vou escrever
v=1+\frac{1}{B-t},
onde B é uma constante arbitrária (é apenas renomear A).

Passo 4

Voltando à variável u usando u=t v, obtemos a solução geral
u(t)=t\left(1+\frac{1}{B-t}\right)=t+\frac{t}{B-t}.
Agora impondo a condição inicial u(1)=2: substituindo t=1,
2=1+\frac{1}{B-1}.
Isso dá
\frac{1}{B-1}=1 \quad\Rightarrow\quad B-1=1 \quad\Rightarrow\quad B=2.
Substituindo B=2 na expressão para u(t) resulta
u(t)=t+\frac{t}{2-t}.
Podemos simplificar a fração para uma forma polinomial/racional mais compacta:
u(t)=\frac{t(2-t)+t}{2-t}=\frac{3t-t^{2}}{2-t}=\frac{t(3-t)}{2-t}.
Observações importantes (para a prova):
  • Durante o processo apareceu também a solução constante v\equiv1 (pois v^{\prime}=(1-v)^{2}=0 quando v=1), que corresponde a u(t)=t. Essa solução existe, mas não satisfaz a condição inicial u(1)=2.
  • A solução encontrada tem singularidade em t=2 (denominador zero). Como a condição inicial está em t=1, a solução única que passa por t=1 é válida no intervalo maximal que contém 1 e não contém 2, tipicamente (-\infty,2). Também atenção a t=0, ponto singular da forma original; a solução aqui é considerada em um intervalo que não engloba esses pontos singulares.

Passo 5

Verificação rápida (só para ganhar confiança): é possível derivar u(t)=t+\dfrac{t}{2-t} e substituir na equação original para checar que satisfaz t u^{\prime}=(t-u)^{2}+u. A conta é direta (derivar usando quociente/produto) e confirma que a solução obtida está correta e satisfaz u(1)=2.

Resposta

u(t)=\frac{t(3-t)}{2-t},\quad t\neq2

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