9.11 Find the phasors corresponding to the following signals:
(a) v(t)=21 \cos \left(4 t-15^{\circ}\right) \mathrm{V}

Passo 1

O enunciado dá o sinal no domínio do tempo e pede o(s) respectivo(s) fasor(es):
  • Sinal dado: v(t)=21\cos\!\left(4t-15^{\circ}\right)\\ \mathrm{V}.
  • Pergunta: encontrar o(s) fasor(es) correspondentes a esse sinal.

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática e simples).
  • Um fasor é a representação complexa (magnitude e fase) da amplitude de uma senóide no domínio complexo, removendo a dependência \mathrm{e}^{j\omega t}.
  • Matematicamente, se tiveres
v(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
podes escrever
v(t)=\Re\{A\,\mathrm{e}^{j\varphi}\,\mathrm{e}^{j\omega t}\}.
  • O fasor associado é então o número complexo
\tilde{V}=A\,\mathrm{e}^{j\varphi},
ou, em notação polar,
\tilde{V}=A\angle\varphi.
  • Observação importante (convenção): alguns autores usam o valor de pico A no fasor; outros usam o valor RMS A/\sqrt{2}. Vou apresentar as duas formas e explicar qual usar dependendo do contexto.

Passo 3

Aplicando a regra ao sinal dado.
  • Aqui A=21 (valor de pico), \omega=4 (rad/s) e \varphi=-15^{\circ}.
  • Portanto o fasor no formato de pico (convenção mais direta) é
\tilde{V}_{\text{pico}}=21\angle -15^{\circ}\\ \text{V}.

Passo 4

Converter o fasor para a forma retangular (parte real + j parte imaginária), mostrando os cálculos passo a passo.
  • Usar as fórmulas
\Re\{\tilde{V}\}=A\cos\varphi,\qquad \Im\{\tilde{V}\}=A\sin\varphi.
  • Calcular \cos 15^{\circ} e \sin 15^{\circ} (lembrando que \cos(-15^\circ)=\cos 15^\circ e \sin(-15^\circ)=-\sin 15^\circ):
\cos 15^{\circ}\approx 0,9659258263,\qquad \sin 15^{\circ}\approx 0,2588190451.
  • Então
\Re\{\tilde{V}_{\text{pico}}\}=21\cos(-15^{\circ})=21\cdot 0,9659258263\approx 20,2844,
\Im\{\tilde{V}_{\text{pico}}\}=21\sin(-15^{\circ})=21\cdot(-0,2588190451)\approx -5,4342.
  • Logo a forma retangular é
\tilde{V}_{\text{pico}}\approx 20{,}2844 - j\,5{,}4342\\ \text{V}.

Passo 5

Fasor em convenção RMS (opcional, mas útil em circuitos de potência).
  • Se a convenção exigir fasor em valor RMS, divide-se a magnitude por \sqrt{2}:
\tilde{V}_{\text{rms}}=\frac{21}{\sqrt{2}}\angle -15^{\circ}\\ \text{V}\approx 14{,}8492\angle -15^{\circ}\\ \text{V}.
  • Em forma retangular:
\tilde{V}_{\text{rms}}\approx 14{,}8492\cdot(0{,}9659258 - j\,0{,}2588190)\approx 14{,}3490 - j\,3{,}8423\\ \text{V}.

Passo 6

Resumo prático para a prova (o que escrever rápido no caderno).
  • Se não pedirem explicitamente RMS, escreva o fasor com a amplitude de pico: \;21\angle -15^{\circ}\\ \text{V}.
  • Se for problema de potência ou for pedido RMS, use \;14{,}849\angle -15^{\circ}\\ \text{V}.
  • Se precisarem de soma/subtração de fasores, a forma retangular (real + j imag) facilita as operações.

Resposta

\tilde{V}_{\text{pico}}=21\angle -15^{\circ}\\ \text{V}
\tilde{V}_{\text{pico}}\approx 20{,}2844 - j\,5{,}4342\\ \text{V}
\tilde{V}_{\text{rms}}=\dfrac{21}{\sqrt{2}}\angle -15^{\circ}\approx 14{,}8492\angle -15^{\circ}\\ \text{V}

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