(11) Quais da igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique a sua resposta. ,
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a igualdade
é sempre verdadeira ou nem sempre. O conteúdo envolve o produto vetorial, o produto escalar e o produto escalar triplo (ou produto misto) de três vetores em .
Passo 2
Lembramos que o produto escalar triplo de três vetores pode ser definido como o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas desses vetores. Ou seja, tomando
temos
Passo 3
De modo análogo, usando a mesma definição de determinante para ucdot(vtimes w), obtemos
Como ambas expressões são exatamente o mesmo determinante, conclui-se que
(utimes v)cdot w =ucdot(vtimes w)
para quaisquer vetores u,v,w em R^3.
Resposta
A igualdade
(utimes v)cdot w = ucdot(vtimes w)
é sempre verdadeira, pois ambas as expressões representam o mesmo determinante (produto escalar triplo), que é invariante sob permutações cíclicas dos vetores.