(11) Quais da igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique a sua resposta.
(u times v) cdot w=u cdot(v times w),

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
(utimes v)cdot w ;=;ucdot(vtimes w)
é sempre verdadeira ou nem sempre. O conteúdo envolve o produto vetorial, o produto escalar e o produto escalar triplo (ou produto misto) de três vetores em R^3.

Passo 2

Lembramos que o produto escalar triplo de três vetores u,v,w pode ser definido como o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas desses vetores. Ou seja, tomando
u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3), w=(w1,w2,w3),
temos
(utimes v)cdot w =det u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3

Passo 3

De modo análogo, usando a mesma definição de determinante para ucdot(vtimes w), obtemos
ucdot(vtimes w) =det u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3
Como ambas expressões são exatamente o mesmo determinante, conclui-se que
(utimes v)cdot w =ucdot(vtimes w)
para quaisquer vetores u,v,w em R^3.

Resposta

A igualdade
(utimes v)cdot w = ucdot(vtimes w)
é sempre verdadeira, pois ambas as expressões representam o mesmo determinante (produto escalar triplo), que é invariante sob permutações cíclicas dos vetores.

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