(11) Quais da igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique a sua resposta.
(u times v) cdot u=v cdot(u times v),

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para quaisquer vetores u,vinR^3, a igualdade
(utimes v)cdot u ;=;vcdot(utimes v)
é sempre verdadeira ou se há casos em que não vale. O conteúdo envolvido é o produto vetorial (que gera um vetor ortogonal aos fatores) e o produto escalar.

Passo 2

Sabemos que, por definição do produto vetorial, utimesv é um vetor ortogonal tanto a u quanto a v. Logo, ao fazer o produto escalar de utimesv com qualquer um dos vetores u ou v, obtemos zero. Em particular:
(utimes v)cdot u = 0 e vcdot(utimes v) = 0
Como ambos os lados da igualdade são zero, a igualdade vale sempre.

Resposta

A igualdade é sempre verdadeira, pois ambos os produtos escalares são zero.

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