(12) Mostre que, exceto em casos degenerados,
está no plano de
, enquanto
está no plano de
e
. Quais são os casos degenerados?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas três vetores
, exceto em casos degenerados,
-
está no plano gerado por e . -
está no plano gerado por e .
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de ortogonalidade do produto vetorial: um produto vetorial de dois vetores é ortogonal a cada um deles.
Passo 2
Lembrando a propriedade fundamental do produto vetorial: para quaisquer
, vale
Isto é,
Passo 3
Para
, note que este vetor é ortogonal a
. Em símbolos,
Mas ser ortogonal a
significa exatamente pertencer ao plano gerado por
e
, pois o eixo ortogonal a esse plano é a direção de
. Logo
Passo 4
Analogamente, para
temos
isto é,
Como
é o vetor normal ao plano gerado por
e
, concluímos
Passo 5
Os casos degenerados ocorrem quando um dos produtos vetoriais internos é o vetor zero, pois daí não há “plano” bem definido ou o vetor resultante é trivialmente zero. Especificamente:
-
, que acontece se e são colineares (ou algum é o vetor nulo). -
, que acontece se e são colineares (ou algum é o vetor nulo).
Nesses casos,
ou
, e não faz sentido falar em “plano” distinto.
Resposta
Os casos degenerados são quando
e
são colineares (ou zero), fazendo
, ou quando
e
são colineares (ou zero), fazendo
.