(12) Mostre que, exceto em casos degenerados, (u times v) times w está no plano de u e v, enquanto u times(v times w) está no plano de v e w. Quais são os casos degenerados?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas três vetores u,v,winR^3, exceto em casos degenerados,
  1. (utimesv)timesw está no plano gerado por u e v.
  2. utimes(vtimesw) está no plano gerado por v e w.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de ortogonalidade do produto vetorial: um produto vetorial de dois vetores é ortogonal a cada um deles.

Passo 2

Lembrando a propriedade fundamental do produto vetorial: para quaisquer a,b, vale
atimesb;perp;a e atimesb;perp;b
Isto é,
(atimesb)cdota=0, (atimesb)cdotb=0

Passo 3

Para (utimesv)timesw, note que este vetor é ortogonal a utimesv. Em símbolos,
l((utimesv)timeswr)cdot(utimesv)=0
Mas ser ortogonal a utimesv significa exatamente pertencer ao plano gerado por u e v, pois o eixo ortogonal a esse plano é a direção de utimesv. Logo
(utimesv)timesw;in;spanu,v

Passo 4

Analogamente, para utimes(vtimesw) temos
utimes(vtimesw) ;perp; vtimesw,
isto é,
l(utimes(vtimesw)r)cdot(vtimesw)=0
Como vtimesw é o vetor normal ao plano gerado por v e w, concluímos
utimes(vtimesw) ;in; spanv,w

Passo 5

Os casos degenerados ocorrem quando um dos produtos vetoriais internos é o vetor zero, pois daí não há “plano” bem definido ou o vetor resultante é trivialmente zero. Especificamente:
  • utimesv=0, que acontece se u e v são colineares (ou algum é o vetor nulo).
  • vtimesw=0, que acontece se v e w são colineares (ou algum é o vetor nulo).
Nesses casos, (utimesv)timesw=0 ou utimes(vtimesw)=0, e não faz sentido falar em “plano” distinto.

Resposta

Os casos degenerados são quando u e v são colineares (ou zero), fazendo utimesv=0, ou quando v e w são colineares (ou zero), fazendo vtimesw=0.

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