• 11.) \left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx + \bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr)\,dy = 0
e pede a solução geral. Isso é uma equação exata se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, onde M(x,y)=3x^{2}-2xy+2 e N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr) = -2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr) = -2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx = x^{3} - x^{2}y + 2x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -x^{2} + h'(y) \overset{!}{=} 6y^{2}-x^{2}+3 \;\Longrightarrow\; h'(y)=6y^{2}+3.
Agora integramos h'(y):
h(y) = \int\bigl(6y^{2}+3\bigr)\,dy = 2y^{3} + 3y + C_{1}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a solução implícita geral:
\Phi(x,y) = x^{3} - x^{2}y + 2x + 2y^{3} + 3y = C,
onde C absorve a constante C_{1}.

Resposta

x^{3} - x^{2}y + 2x + 2y^{3} + 3y = C.

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