Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 4.) x y^{\prime}=y+x^{2} \cos x, x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y' = y + x^{2}\cos x,\quad x>0
que é uma equação de primeira ordem, linear não homogênea em y. Vamos reescrevê-la no formato padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)
e então usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x (válido pois x>0) para obter
y' - \frac{1}{x}\,y = x\cos x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr)
onde P(x) = -1/x. Assim
\mu(x) = \exp\Bigl(-\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-\ln x) = \frac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação original em forma padrão por \mu(x)=1/x, obtemos
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y = \cos x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \frac{y}{x}, ou seja
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \cos x.
Integrando ambos os lados em relação a x, vem
\frac{y}{x} = \int \cos x\,dx = \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, isolamos y:
y = x\bigl(\sin x + C\bigr) = x\sin x + C\,x.

Resposta

y(x) = x\sin x + C\,x,\quad C\in\mathbb{R}.

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