Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 4.) y^{\prime \prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 25\,y = 0.
Para resolver esse tipo de EDO, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo em \;y''+25y=0\; obtemos a equação característica
r^2 + 25 = 0.
Resolvendo para r, vem
r^2 = -25 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 5\,i.

Passo 3

Como as raízes da característica são conjugadas imaginárias r_{1,2} = \pm 5\,i, a forma real da solução geral é dada por
y(x) = C_{1}\cos(5x) + C_{2}\sin(5x),
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.ãáçõ

Resposta

y(x) = C_{1}\cos(5x) + C_{2}\sin(5x).

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