Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 1.) y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4\,y' - 5\,y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^2 - 4r - 5 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação
r^2 - 4r - 5 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
r = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2},
resultam as raízes
r_1 = 5 \quad\text{e}\quad r_2 = -1.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x} = C_1\,e^{5x} + C_2\,e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{5x} + C_2\,e^{-x}.

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