• 7.) \left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}+3xy+y^{2}\bigr)\,dx \;-\;x^{2}\,dy=0,\quad x>0.
Este é um caso de equação do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=x^{2}+3xy+y^{2}, \quad N(x,y)=-x^{2}.
Note que M e N são homogêneos de mesmo grau (grau 2), então podemos usar a substituição y=vx.

Passo 2

Como y=vx, temos
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em
M\,dx + N\,dy =0
vem
\bigl(x^{2}+3x(vx)+(vx)^{2}\bigr)\,dx - x^{2}\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr)=0.
Simplificando cada termo:
x^{2}(1+3v+v^{2})\,dx - v\,x^{2}\,dx - x^{3}\,dv=0
x^{2}\bigl(1+3v+v^{2}-v\bigr)\,dx = x^{3}\,dv
x^{2}(1+2v+v^{2})\,dx = x^{3}\,dv
x^{2}(v+1)^{2}\,dx = x^{3}\,dv.

Passo 3

Isolando a derivada de v em relação a x:
dv = \frac{(v+1)^{2}}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{(v+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}} = \int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo usamos \displaystyle \int (v+1)^{-2}dv = -\frac{1}{v+1}, e no direito \displaystyle \int x^{-1}dx=\ln x. Assim,
-\frac{1}{v+1} = \ln x + C_{1}.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que v=y/x, temos
v+1 = \frac{y}{x} + 1 = \frac{x+y}{x},
portanto
-\frac{1}{v+1} = -\frac{x}{x+y}.
A relação fica
-\frac{x}{x+y} = \ln x + C_{1} \;\Longrightarrow\; \ln x + \frac{x}{x+y} = C,
onde C=-C_{1} é a constante geral de integração.

Resposta

\boxed{\ln x + \frac{x}{x+y} = C, \quad C\in\mathbb{R}.}

Exercícios relacionados