11 \lim _{x \rightarrow 3}(3 x-9)^{100}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 3} (3x-9)^{100}.
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é f(x)=(3x-9)^{100}.
  • O ponto onde x se aproxima é x=3.
    O que se quer: o valor numérico do limite quando x tende a 3.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da potência para ver a estrutura da função. Observe que
3x-9 = 3(x-3).
Usando a propriedade de potências (ab)^n = a^n b^n (válida para qualquer a,b reais e inteiro n\ge 1), temos
(3x-9)^{100} = \bigl(3(x-3)\bigr)^{100} = 3^{100}\,(x-3)^{100}.

Passo 3

Agora pense no comportamento de (x-3)^{100} quando x\to 3. A diferença (x-3) tende a
\lim_{x\to 3} (x-3) = 0.
Uma regra simples de limites diz que, se \lim_{x\to a} g(x)=L e n é um inteiro positivo, então
\lim_{x\to a} \bigl(g(x)\bigr)^n = L^n.
Aplicando isso com g(x)=x-3, a=3 e n=100, obtemos
\lim_{x\to 3} (x-3)^{100} = 0^{100} = 0.
(Explicação rápida: elevar uma quantidade que tende a 0 a uma potência positiva ainda dá 0.)

Passo 4

Voltando à forma fatorada \,3^{100}\,(x-3)^{100}\,: como 3^{100} é uma constante finita, podemos usar a propriedade de fator constante dos limites:
\lim_{x\to 3} 3^{100}\,(x-3)^{100} = 3^{100}\cdot \lim_{x\to 3} (x-3)^{100}.
Já achamos que \lim_{x\to 3} (x-3)^{100}=0, logo
\lim_{x\to 3} 3^{100}\,(x-3)^{100} = 3^{100}\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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