39 \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{5}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{5}-1}.
Informações que temos (testando se dá pra avaliar direto): ao substituir x=1,
1^{2}+1-2=0 \qquad\text{e}\qquad 1^{5}-1=0,
portanto a expressão assume a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso diz que não podemos só substituir; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Estratégia escolhida: procurar fatores comuns que causem a indeterminação e simplificar. Uma causa típica de \tfrac{0}{0} quando x\to1 é haver um fator (x-1) tanto no numerador quanto no denominador. Vou fatorar numerador e denominador para ver se esse fator aparece e pode ser cancelado.

Passo 3

Fatorando o numerador \,x^{2}+x-2.\n
Procuramos dois números cuja soma seja 1 (coeficiente de x) e produto seja -2 (termo constante). Esses números são 2 e -1. Logo
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Explicando rápido: multiplicando (x+2)(x-1) x^{2}+2x-x-2=x^{2}+x-2.

Passo 4

Fatorando o denominador \,x^{5}-1.\n
Existe uma fórmula geral para diferença de potências:
x^{n}-1=(x-1)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\bigr).
Aplicando com n=5 obtemos
x^{5}-1=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
(Verificação rápida: multiplicando (x-1) pela soma acima telescopa e sobra x^{5}-1.)

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original temos, para x\neq1,
\frac{x^{2}+x-2}{x^{5}-1} = \frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}.
Agora podemos cancelar o fator (x-1) (válido para x\neq1), obtendo a função simplificada
\frac{x+2}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}\quad\text{para }x\neq1.
Como a simplificação coincide com a função original em todos os pontos próximos de x=1 (exceto exatamente em x=1), o limite quando x\to1 é igual ao limite da função simplificada.

Passo 6

A função simplificada é contínua em x=1 (é uma razão de polinômios cujo denominador em x=1 é diferente de zero), portanto o limite é obtido simplesmente substituindo x=1:
\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac{1+2}{1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1} = \frac{3}{5}.

Passo 7

Verificação alternativa (L’Hôpital) — só para treino: como tínhamos \tfrac{0}{0}, aplicando a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
\text{numerador}' = 2x+1,\qquad \text{denominador}' = 5x^{4}.
Então
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{5}-1} = \lim_{x\to1}\frac{2x+1}{5x^{4}} = \frac{2\cdot1+1}{5\cdot1^{4}}=\frac{3}{5},
confirmando o mesmo resultado. Dá pra usar qualquer um dos dois métodos na prova; fatoração costuma ser mais rápida quando aparece diferença de potências.

Passo 8

Exemplo extra curto para fixar a ideia: \lim_{x\to1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}. Fatorando x^{2}-1=(x-1)(x+1), cancela-se (x-1) e o limite é \lim_{x\to1}(x+1)=2. Mesmo padrão de raciocínio.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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