Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações que temos (testando se dá pra avaliar direto): ao substituir
,
portanto a expressão assume a forma indeterminada
. Isso diz que não podemos só substituir; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 2
Estratégia escolhida: procurar fatores comuns que causem a indeterminação e simplificar. Uma causa típica de
quando
é haver um fator
tanto no numerador quanto no denominador. Vou fatorar numerador e denominador para ver se esse fator aparece e pode ser cancelado.
Passo 3
Fatorando o numerador
.\n
Procuramos dois números cuja soma seja (coeficiente de
) e produto seja
(termo constante). Esses números são
e
. Logo
Procuramos dois números cuja soma seja
Explicando rápido: multiplicando
dá
.
Passo 4
Fatorando o denominador
.\n
Existe uma fórmula geral para diferença de potências:
Existe uma fórmula geral para diferença de potências:
Aplicando com
obtemos
(Verificação rápida: multiplicando
pela soma acima telescopa e sobra
.)
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original temos, para
,
Agora podemos cancelar o fator
(válido para
), obtendo a função simplificada
Como a simplificação coincide com a função original em todos os pontos próximos de
(exceto exatamente em
), o limite quando
é igual ao limite da função simplificada.
Passo 6
A função simplificada é contínua em
(é uma razão de polinômios cujo denominador em
é diferente de zero), portanto o limite é obtido simplesmente substituindo
:
Passo 7
Verificação alternativa (L’Hôpital) — só para treino: como tínhamos
, aplicando a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
Então
confirmando o mesmo resultado. Dá pra usar qualquer um dos dois métodos na prova; fatoração costuma ser mais rápida quando aparece diferença de potências.
Passo 8
Exemplo extra curto para fixar a ideia:
. Fatorando
, cancela-se
e o limite é
. Mesmo padrão de raciocínio.