9 \lim _{x \rightarrow 1}(-2 x+5)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte valor:
9 \lim_{x \rightarrow 1}(-2 x+5)^{4}.
Informações dadas e objetivo:
  • A expressão dentro do limite é (-2x+5)^{4}.
  • Queremos o limite quando x \to 1 e depois multiplicar o resultado por 9.
  • Não há nenhuma complicação como indeterminação aparente; o objetivo é aplicar propriedades básicas de limites e avaliar.

Passo 2

Vamos lembrar algumas propriedades de limites que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
  • Se f(x) é uma função polinomial (ou soma/produto de polinômios e potências), ela é contínua em todo lugar. Para funções contínuas vale que
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Isto significa que, para polinômios, basta substituir x=a.
  • Regra da potência: se \lim_{x\to a} g(x)=L então, para inteiro positivo n,
\lim_{x\to a} (g(x))^{n} = L^{n}.
  • Regra do fator constante: para constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot h(x) = c\cdot \lim_{x\to a} h(x).
Essas regras nos permitem avaliar limites de funções compostas e multiplicadas por constantes de forma direta.

Passo 3

Aplicando continuidade/avaliação direta à parte interna linear g(x)=-2x+5. Como g é linear (portanto contínua),
\lim_{x\to 1}(-2x+5) = -2\cdot 1 + 5.
Calcule passo a passo:
-2\cdot 1 = -2, \qquad -2 + 5 = 3.
Logo
\lim_{x\to 1}(-2x+5) = 3.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência com n=4:
\lim_{x\to 1}(-2x+5)^{4} = \bigl(\lim_{x\to 1}(-2x+5)\bigr)^{4} = 3^{4}.
Calcule 3^{4} de forma didática:
3^{2}=9,\qquad 3^{4}=(3^{2})^{2}=9^{2}=81.
Portanto
\lim_{x\to 1}(-2x+5)^{4}=81.

Passo 5

Finalmente aplicamos a regra do fator constante: multiplicamos por 9:
9 \lim_{x\to 1}(-2x+5)^{4} = 9\cdot 81.
Calcule a multiplicação passo a passo:
9\cdot 81 = 9\cdot(80+1)=9\cdot 80 + 9\cdot 1 = 720 + 9 = 729.

Resposta

729

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