11. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} e^{-1 /\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{-1/(x^2+y^2)}.
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e iremos usar coordenadas polares para estudar o comportamento radial da expressão conforme (x,y) se aproxima da origem.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
r = \sqrt{x^2 + y^2},
com r>0 quando (x,y)\neq(0,0). Assim a função se reescreve como
e^{-1/(x^2+y^2)} \;=\; e^{-1/r^2}.

Passo 3

Ao aproximar-se da origem temos r\to0^+. Nesse limite -1/r^2\to-\infty,
então a exponencial satisfaz
e^{-1/r^2}\;\longrightarrow\;0.
Isso vale para qualquer direção de aproximação, logo o limite existe e vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados