Mostre que o limite não existe considerando os limites quando (x, y) \rightarrow(0,0) ao longo dos eixos coordenados.
8.(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x - y}{x^2 + y^2}
não existe, usando as aproximações ao longo dos eixos coordenados. O conteúdo é teste de existência de limite em duas variáveis por caminhos.

Passo 2

Aproximando pelo eixo x (ou seja, y=0), temos
f(x,0)=\frac{x-0}{x^2+0^2}=\frac{x}{x^2}=\frac1x.
Ao fazermos x\to0^+ surge
\lim_{x\to0^+}f(x,0)=+\infty,
e ao fazermos x\to0^- surge
\lim_{x\to0^-}f(x,0)=-\infty.
Logo, mesmo ao longo do eixo x o valor não se estabiliza num único número finito.

Passo 3

Aproximando pelo eixo y (ou seja, x=0), temos
f(0,y)=\frac{0-y}{0^2+y^2}=-\frac{y}{y^2}=-\frac1y.
Ao fazermos y\to0^+ obtém-se
\lim_{y\to0^+}f(0,y)=-\infty,
e para y\to0^- obtém-se
\lim_{y\to0^-}f(0,y)=+\infty.
Também aqui não há valor finito único.

Passo 4

Como os limites ao longo dos eixos nem sequer são finitos (e ainda mudam de sinal dependendo de como se aproxima), não existe valor comum para todas as direções. Portanto o limite em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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