15. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{3 x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y}{3x^2 + 2y^2}.
Estamos em análise de limites de funções de duas variáveis e vamos verificar se o valor depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Analiso primeiro a aproximação pelo eixo x, isto é y=0. Nesse caso
\frac{x\cdot 0}{3x^2 + 2\cdot0^2} = 0,
logo o limite ao longo de y=0 é 0.

Passo 3

Agora aproximo por uma reta genérica y = m x, com m\in\mathbb{R}. Substituindo, obtemos
\frac{x\,(m x)}{3x^2 + 2(m x)^2} = \frac{m x^2}{x^2\,(3 + 2m^2)} = \frac{m}{3 + 2m^2}.
Esse valor depende de m. Por exemplo, para m=0 0 e para m=1 \tfrac{1}{5}.

Passo 4

Como encontrámos valores diferentes do limite ao longo de retas com inclinações distintas, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados