4. \lim _{(x, y) \rightarrow(1,-3)} e^{2 x-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-3)} e^{2x - y^2}. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e usaremos o fato de que polinômios e a função exponencial são contínuos, de modo que podemos simplesmente substituir (x,y)=(1,-3).

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x,y)=2x - y^2.
Como soma, produto e potência com expoente inteiro são operações contínuas, g é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

A função
h(t)=e^t
é contínua para todo t\in\mathbb{R} porque a exponencial não apresenta descontinuidade.

Passo 4

A composição
f(x,y)=h\bigl(g(x,y)\bigr)=e^{\,2x - y^2}
é contínua em \mathbb{R}^2. Logo,
\lim_{(x,y)\to(1,-3)} e^{2x - y^2} = f(1,-3).

Passo 5

Calculamos o expoente em (1,-3):
2\cdot1 - (-3)^2 = 2 - 9 = -7.
Portanto,
f(1,-3)=e^{-7}.

Resposta

\displaystyle e^{-7}

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