4.11 Com t meses de experiência um funcionário do correio é capaz de separar Q(t)= 700-400 e^-0,5 t cartas por hora. Qual a velocidade média com que o funcionário consegue separar a correspondência durante os 5 primeiros meses de trabalho?
Dica: Use o TVM para integrais.
Solução: Utilizando o TVM para integrais e considerando a função Q(t) no intervalo [0,5], temos que a velocidade média será dada por
Q(t)med & =15-0 integral0^5(700-400 e^-0,5 t) d t & =15[(700 t)|0 ^5-400 integral0^5 e^-0,5 t d t] & =15[700 cdot 5-400 integral0^5 e^-0,5 t d t] & =700-80 integral0^5 e^-0,5 t d t
Podemos calcular esta última integral fazendo a substituição
u=-0,5 t Rightarrow d u=-0,5 d t, x=0 Rightarrow u=0, x=5 Rightarrow u=-2,5
Então,
Q(t) med & =700-80 integral0^-2,5 e^u d u-0,5 & =700+160 integral0^-2,5 e^u d u & =700+160(e^u)|0 ^-2,5 & =700+160(e^-2,5-1) & approx 553,13
Logo, a velocidade média é aproximadamente 553,13 cartas por hora.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade média de separação de cartas pelo funcionário nos primeiros 5 meses, sabendo que a taxa instantânea é dada por Q(t)=700-400e^-0,5t. O conteúdo é valor médio de função usando integrais, e vamos usar a fórmula
Qmed=1b-aintegrala^b Q(t),dt
no intervalo [0,5].

Passo 2

Aplicando a fórmula de valor médio, escrevemos
Qmed=15-0integral0^5l(700-400e^-0,5tr)dt =15l(integral0^5 700,dt-400integral0^5 e^-0,5tdtr)

Passo 3

Calculamos a parte constante:
integral0^5 700,dt=700cdot5=3500
e dividindo por 5 isso dá 700. Logo
Qmed=700-4005integral0^5 e^-0,5tdt=700-80integral0^5 e^-0,5tdt

Passo 4

Para resolver integral0^5 e^-0,5tdt usamos a substituição
u=-0,5tRightarrow du=-0,5,dtRightarrow dt=du-0.5
Quando t=0, u=0; quando t=5, u=-2,5. Assim,
integral0^5 e^-0,5tdt=integralu=0^-2,5e^udu-0.5=2integral-2,5^0e^u du=2l[e^ur]-2,5^0=2(1-e^-2,5)

Passo 5

Substituindo de volta em Qmed:
Qmed=700-80cdot2(1-e^-2,5)=700-160+160e^-2,5=540+160e^-2,5approx553,13

Resposta

A velocidade média é aproximadamente 553,13 cartas por hora.

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