Faça os gráficos das seguintes funções:
© f(x)=1x^2+1

Passo 1

Estamos lidando com o esboço do gráfico da função racional
f(x)=1x^2+1
Conteúdo: esboço de gráfico de funções racionais mediante análise de domínio, assíntotas e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio e as assíntotas:
– Domínio: Rsetminus0, pois não faz sentido dividir por zero.
– Assíntota vertical em x=0 porque limxto0^pmf(x)=+infty.
– Assíntota horizontal em y=1 porque limxtopminftyf(x)=1.

Passo 3

Agora, estudamos monotonicidade e concavidade:
f'(x)=-2x^3, f''(x)=6x^4>0
– Para x>0, f'(x)<0, logo a função decresce de +infty (quando xto0^+) até 1 (quando xto+infty).
– Para x<0, f'(x)>0, logo a função cresce de 1 (quando xto-infty) até +infty (quando xto0^-).
– Como f''(x)>0, a curva é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 4

Identificamos pontos chave e simetria:
– Simetria par: f(-x)=f(x), ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
– Pontos de referência: f(1)=2 e f(-1)=2.
– Não há raízes reais porque f(x)>1 sempre.

Passo 5

Com base em todos esses dados, fazemos o esboço mental ou no papel:
– Desenhe os eixos x e y.
– Trace as assíntotas: reta vertical x=0 e reta horizontal y=1.
– Plote os pontos (1,2) e (-1,2).
– Desenhe duas ramificações hiperbólicas convexas: uma no ramo x>0 decrescendo para a direita e outra no ramo x<0 decrescendo para a esquerda (ou crescendo para a direita), sempre acima de y=1.

Resposta

O gráfico de f(x)=1/x^2+1 consiste em duas curvas hiperbólicas simétricas em relação ao eixo y, cada uma sempre acima de y=1, com assíntotas em x=0 (vertical) e y=1 (horizontal), passando por (1,2) e (-1,2).

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