Calcule os seguintes limites :
lim x 1 x^3 / 2-1x^1 / 2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função que envolve potências de x:
Conteúdo: limites e indeterminações do tipo 0/0.
Vamos precisar reconhecer a forma indeterminada e aplicar uma técnica de fatoração ou regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a substituição direta de x=1. Temos:
x^3/2-1x^1/2-1g|x=1=1^3/2-11^1/2-1=1-11-1=00,
ou seja, indeterminação 0/0. Precisamos de outro método.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fazemos a mudança de variável t=raizx=x^1/2. Quando xto1, segue que tto1. Reescrevendo o limite em termos de t:
x^3/2-1x^1/2-1=t^3-1t-1

Passo 4

Agora aplicamos a fatoração da diferença de cubos. Lembrando que a^3-1=(a-1)(a^2+a+1), temos:
t^3-1t-1=(t-1)(t^2+t+1)t-1=t^2+t+1,
válido para tneq1 mas que serve para encontrar o limite.

Passo 5

Como tto1, basta substituir na expressão simplificada:
limtto1(t^2+t+1)=1^2+1+1=3

Resposta

3

Exercícios relacionados