O enunciado pede para calcular o limite de uma função que envolve potências de x:
Conteúdo: limites e indeterminações do tipo .
Vamos precisar reconhecer a forma indeterminada e aplicar uma técnica de fatoração ou regra de l’Hôpital para resolver.
Passo 2
Verificamos a substituição direta de . Temos:
ou seja, indeterminação 0/0. Precisamos de outro método.
Passo 3
Para eliminar a indeterminação, fazemos a mudança de variável t=raizx=x^1/2. Quando xto1, segue que tto1. Reescrevendo o limite em termos de t:
x^3/2-1x^1/2-1=t^3-1t-1
Passo 4
Agora aplicamos a fatoração da diferença de cubos. Lembrando que a^3-1=(a-1)(a^2+a+1), temos:
t^3-1t-1=(t-1)(t^2+t+1)t-1=t^2+t+1,
válido para tneq1 mas que serve para encontrar o limite.
Passo 5
Como tto1, basta substituir na expressão simplificada: