Calcule o integral de fluxo de F=4 x i+4 y j+z k sobre a superfície cortada do fundo do paraboloide z=x^2+y^2 pelo plano

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial vec F=4x,vec i+4y,vec j+z,vec k sobre a parte do paraboloide z=x^2+y^2 limitada pelo plano z=1. Isso envolve integral de superfície e normal a uma superfície paramétrica.

Passo 2

Parametrizamos o paraboloide como
vec r(x,y)=(x,,y,,x^2+y^2),
com domínio Dcolon x^2+y^2<=1.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
vec rx=(1,0,2x), vec ry=(0,1,2y)
e o produto vetorial que dá o vetor normal orientado para cima:
vec rxtimesvec ry=(-2x,-2y,1)

Passo 4

O elemento de área vetorial é
dvec S=(,-2x,,-2y,1), d x d y
Substituindo z=x^2+y^2 em vec F e fazendo o produto escalar:
vec Fcdot dvec S = (4x,4y,x^2+y^2)cdot(-2x,-2y,1), d x d y = -7(x^2+y^2), d x d y

Passo 5

Passamos a polares com x^2+y^2=r^2 e d x d y=r, d r, dtheta:
integral duplaSvec Fcdot dvec S = -7integral0^2piintegral0^1 r^2,r, d r, dtheta = -7integral0^2piintegral0^1 r^3, d r, dtheta = -7cdot2picdottfrac14 = -7pi2

Resposta

-\tfrac{7\pi}{2}

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