S-3.11* Mostre que, dado n>2, entre n e 2 times 3 times cdots times n existe sempre um número primo. (Note que esta afirmação é bem mais fraca do que o Postulado de Bertrand.)

S-3.12

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro n>2, existe sempre pelo menos um número primo p tal que
n < p < 2 times 3 times cdots times n
O conteúdo que vamos usar é a ideia clássica de Euclides: considerar o número obtido pela subtração de 1 ao produto dos primeiros inteiros e estudar seus divisores primos.

Passo 2

Definimos o número
M = 2 times 3 times cdots times n ;-; 1
Note que M é maior que n, pois
2 times 3 times cdots times n ;>=; 2 times 3 = 6 > n,
para todo n>2, e portanto
M = 2 times 3 times cdots times n - 1 ;>; n

Passo 3

Seja p um divisor primo de M. Vamos verificar que p não pode ser nenhum dos primos entre 2 e n. Suponha, por absurdo, que p<= n. Então p divide o produto
2 times 3 times cdots times n,
e também divide M. Pelo fato de dividir ambos, p deveria dividir a diferença
(2 times 3 times cdots times n) - M = 1,
o que é impossível, pois nenhum primo divide 1.

Passo 4

Concluímos, então, que todo divisor primo p de M satisfaz
p > n
Além disso, p divide M, logo
p <= M = 2 times 3 times cdots times n - 1 < 2 times 3 times cdots times n
Isso mostra que existe um primo p com
n < p < 2 times 3 times cdots times n,
como queríamos.

Resposta

Existe sempre pelo menos um primo p tal que
n < p < 2 times 3 times cdots times n

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