S-3.11* Mostre que, dado
, entre
e
existe sempre um número primo. (Note que esta afirmação é bem mais fraca do que o Postulado de Bertrand.)
S-3.12
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
, existe sempre pelo menos um número primo
tal que
O conteúdo que vamos usar é a ideia clássica de Euclides: considerar o número obtido pela subtração de
ao produto dos primeiros inteiros e estudar seus divisores primos.
Passo 2
Definimos o número
Note que
é maior que
, pois
para todo
, e portanto
Passo 3
Seja
um divisor primo de
. Vamos verificar que
não pode ser nenhum dos primos entre
e
. Suponha, por absurdo, que
. Então
divide o produto
e também divide
. Pelo fato de dividir ambos,
deveria dividir a diferença
o que é impossível, pois nenhum primo divide
.
Passo 4
Concluímos, então, que todo divisor primo
de
satisfaz
Além disso,
divide
, logo
Isso mostra que existe um primo
com
como queríamos.
Resposta
Existe sempre pelo menos um primo
tal que