Determine os restos da divisão por 4 dos números:
1+2+2^2+2^3+cdots+2^100

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão por 4 da soma
S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + cdots + 2^100
O conteúdo principal aqui é a soma de uma progressão geométrica de razão 2 e o uso de aritmética modular para simplificar o resultado.

Passo 2

Usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica com primeiro termo a=1, razão r=2 e último expoente 100:
S = sumk=0^1002^k = 2^101-12-1 = 2^101-1

Passo 3

Para achar Sbmod4, observamos que, para todo expoente k>=2,
2^k equiv 0 pmod4
Como 101>=2, temos 2^101equiv0pmod4. Logo
S = 2^101-1 equiv 0 - 1 equiv -1 equiv 3 pmod4

Resposta

O resto da divisão por 4 da soma dada é 3.

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