Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume da esfera de raio R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio R usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis em integrais triplas, em que precisamos aplicar a transformação para coordenadas esféricas e usar o Jacobiano correspondente.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, definimos
x = rhosinthetacosphi,
y = rhosinthetasinphi,
z = rhocostheta.
O Jacobiano dessa transformação é
J(rho,theta,phi) = rho^2 sintheta

Passo 3

A esfera de raio R corresponde ao domínio
rhoin[0,R], thetain[0,pi] e phiin[0,2pi].
Portanto, o volume fica
V = integral0^2piintegral0^piintegral0^R rho^2 sintheta ,drho,dtheta,dphi

Passo 4

Integramos primeiro em relação a rho:
integral0^R rho^2 ,drho = [rho^33]0^R = R^33

Passo 5

Em seguida, integramos em theta:
integral0^pi sintheta ,dtheta = [-costheta]0^pi = 2

Passo 6

Por fim, integramos em phi e combinamos os resultados:
integral0^2pi dphi = 2pi,
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V = 2pi times 2 times R^33 = 4pi R^33

Resposta

4pi R^33

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