Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume da esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio
usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis em integrais triplas, em que precisamos aplicar a transformação para coordenadas esféricas e usar o Jacobiano correspondente.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, definimos
,
,
.
O Jacobiano dessa transformação é
O Jacobiano dessa transformação é
Passo 3
A esfera de raio
corresponde ao domínio
,
e
.
Portanto, o volume fica
Portanto, o volume fica
Passo 4
Integramos primeiro em relação a
:
Passo 5
Em seguida, integramos em
:
Passo 6
Por fim, integramos em
e combinamos os resultados:
logo