(a) Ache o menor inteiro positivo
tal que o número
seja divisível por 65 .
(b) Mostre que existem infinitos múltiplos de 65 da forma
.
(c) Mostre que se um dado número divide um número da forma
, ele dividirá uma infinidade desses números.
(d) Para este último resultado, existe algo de especial nos números da forma
? Teste o seu resultado para números da forma
, onde
e
não simultaneamente nulos.
(b) Mostre que existem infinitos múltiplos de 65 da forma
(c) Mostre que se um dado número divide um número da forma
(d) Para este último resultado, existe algo de especial nos números da forma
Passo 1
O enunciado gira em torno da busca de soluções inteiras
tais que
seguido de provar que, a partir de uma solução, existem infinitas soluções (parte b), estendendo a qualquer divisor fixo (parte c) e finalmente notar se essa propriedade é especial do polinômio
ou vale para
(parte d). Vamos usar teoria de congruências, CRT (Teorema Chinês do Resto) e expansão de polinômios.
Passo 2
Para (a) resolvemos
isto é
Como
, multiplica-se pelo inverso de
(que é
módulo
) e obtém-se
Agora fatoramos
e resolvemos em cada primo:
- Módulo
: dá . - Módulo
: dá .
Aplicando CRT às quatro combinações:
-
, \implies . -
, \implies . -
, \implies . -
, \implies .
O menor inteiro positivo é
, pois
.
Passo 3
Para (b), dado um
que satisfaz
, considere
Então
onde os dois últimos termos são múltiplos de
. Logo
para todo
, provando que há infinitos
.
Passo 4
Para (c), se um dado divisor fixo
satisfaz
, basta o mesmo argumento com
. Pela expansão,
Assim
divide infinitamente muitos números da forma
.
Passo 5
Para (d), note-se que a propriedade usada é puramente a expansão de polinômios inteiros. Se
então
que é múltiplo de
. Logo, sempre que
, teremos
para todo
. Portanto não há nada de especial em
: qualquer polinômio inteiro
satisfaz o mesmo.
Resposta
(a)
.
(b) Tomando ,
, obtemos infinitos
.
(c) Se , então
para todo
.
(d) A propriedade vale para qualquer polinômio inteiro : de
segue
.
(b) Tomando
(c) Se
(d) A propriedade vale para qualquer polinômio inteiro