11.9 Mostre que os torques em torno do ponto B produzidos por T_{x} e T_{y} no Exemplo 11.5 (Seção 11.4) possuem uma soma igual a zero. Faça isso para o caso geral, em vez de usar os valores numéricos específicos dados no final do exemplo.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, de forma geral, que os torques em torno de B causados pelas componentes T_x e T_y de uma força \mathbf{T} aplicadas em A se cancelam. O conteúdo principal é o cálculo de torque via produto vetorial:
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que B fica na origem e A tem posição \mathbf{r} = x_A\,\mathbf{i} + y_A\,\mathbf{j}. A força em A é
\mathbf{T} = T_x\,\mathbf{i} + T_y\,\mathbf{j}.
Vamos separar o torque em duas parcelas, uma gerada por T_x\,\mathbf{i} e outra por T_y\,\mathbf{j}.

Passo 3

O torque devido a T_x\,\mathbf{i} é
\boldsymbol{\tau}_x = \mathbf{r}\times\bigl(T_x\,\mathbf{i}\bigr) = \bigl(x_A\,\mathbf{i} + y_A\,\mathbf{j}\bigr)\times \bigl(T_x\,\mathbf{i}\bigr).
Calculando o produto vetorial, só sobra componente em \mathbf{k}:
\boldsymbol{\tau}_x = \bigl(0,0,\;x_A\cdot 0 - y_A\cdot T_x\bigr) = -\,y_A\,T_x\,\mathbf{k}.

Passo 4

O torque devido a T_y\,\mathbf{j} é
\boldsymbol{\tau}_y = \mathbf{r}\times\bigl(T_y\,\mathbf{j}\bigr) = \bigl(x_A\,\mathbf{i}+y_A\,\mathbf{j}\bigr)\times \bigl(T_y\,\mathbf{j}\bigr),
que dá
\boldsymbol{\tau}_y = \bigl(0,0,\;x_A\,T_y - y_A\cdot 0\bigr) = x_A\,T_y\,\mathbf{k}.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}_x + \boldsymbol{\tau}_y = \bigl(-\,y_A\,T_x + x_A\,T_y\bigr)\,\mathbf{k}.
Mas como \mathbf{T} está ao longo de AB, seus coeficientes seguem as mesmas razões de r:
\frac{T_x}{T} =\frac{x_A}{L}, \quad \frac{T_y}{T} =\frac{y_A}{L},
onde L=\sqrt{x_A^2+y_A^2}. Assim
x_A\,T_y = \frac{x_A}{L}\,T\,y_A = \frac{y_A}{L}\,T\,x_A = y_A\,T_x,
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-\,y_A\,T_x + x_A\,T_y = 0.

Resposta

A soma dos torques \boldsymbol{\tau}_x e \boldsymbol{\tau}_y é zero.

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