11.9 Mostre que os torques em torno do ponto
produzidos por
e
no Exemplo 11.5 (Seção 11.4) possuem uma soma igual a zero. Faça isso para o caso geral, em vez de usar os valores numéricos específicos dados no final do exemplo.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre, de forma geral, que os torques em torno de
causados pelas componentes
e
de uma força
aplicadas em
se cancelam. O conteúdo principal é o cálculo de torque via produto vetorial:
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que
fica na origem e
tem posição
. A força em
é
Vamos separar o torque em duas parcelas, uma gerada por
e outra por
.
Passo 3
O torque devido a
é
Calculando o produto vetorial, só sobra componente em
:
Passo 4
O torque devido a
é
que dá
Passo 5
Somando as duas parcelas:
Mas como
está ao longo de
, seus coeficientes seguem as mesmas razões de
:
onde
. Assim
logo
Resposta
A soma dos torques
e
é zero.