Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes a determinar
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 4y = 3e^{2x}.
O método dos coeficientes a determinar exige dois passos principais: primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada, depois obter uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' - 3y' - 4y = 0
escrevemos a equação característica
r^2 - 3r - 4 = 0.
Resolvendo-a, obtemos
r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
logo
r_1 = 4,\quad r_2 = -1.
Portanto a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p ao termo 3e^{2x}, fazemos o palpite
y_p(x) = A e^{2x},
onde A é constante a determinar. Calculamos derivadas:
y_p' = 2A e^{2x}, \qquad y_p'' = 4A e^{2x}.
Substituindo em y'' - 3y' - 4y = 3e^{2x}:
(4A e^{2x}) - 3(2A e^{2x}) - 4(A e^{2x}) = (4A - 6A - 4A)e^{2x} = -6A\,e^{2x}.
Esse resultado deve ser igual a 3e^{2x}, então
-6A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac12.
Logo
y_p(x) = -\tfrac12 e^{2x}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} - \tfrac12 e^{2x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} - \tfrac12 e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados