Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(g) y^{\prime \prime}-x y=0, Equação de Airy.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em torno de x_{0}=0, a equação de Airy
y'' - x\,y = 0
usando séries de potências. O conteúdo que vamos aplicar é o método de série de potências para EDOs ordinárias: assumimos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
calculamos y'', substituímos na equação e igualamos coeficientes de x^{n} para encontrar a relação de recorrência entre os a_n.

Passo 2

Assumindo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,x^{n-2} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n},
a equação y''-x\,y=0 vira
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+1} =0.
Reindexando o segundo somatório ( n\mapsto n-1) e igualando coeficientes de x^{n} obtemos
2\,a_{2}=0, \quad (n+2)(n+1)\,a_{n+2}-a_{n-1}=0\quad(\forall n\ge1).
Logo
a_{2}=0, \qquad a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)},\quad n\ge1.

Passo 3

Como a_{2}=0, vê-se que todos os a_{3m+2}=0. Restam dois coeficientes livres a_{0} e a_{1}, gerando duas séries independentes:
(i) Série com a_{0}: seus termos não nulos são a_{3m} e satisfazem, para m\ge1,
a_{3m} =\frac{a_{3m-3}}{(3m)(3m-1)} \;\Longrightarrow\; a_{3m} =\frac{a_{0}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m}(3k)(3k-1)}.
(ii) Série com a_{1}: seus termos não nulos são a_{3m+1} e satisfazem, para m\ge1,
a_{3m+1} =\frac{a_{3m-2}}{(3m+1)(3m)} \;\Longrightarrow\; a_{3m+1} =\frac{a_{1}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m}(3k+1)(3k)}.

Passo 4

Portanto a solução geral é
y(x) =C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x),
onde, tomando C_{1}=a_{0}, C_{2}=a_{1},
y_{1}(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m}(3k)(3k-1)}, \quad y_{2}(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m+1}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m}(3k+1)(3k)}.
O raio de convergência dessas séries é infinito, logo a solução vale para todo x\in(-\infty,\infty).

Resposta

y(x) =C_{1}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m}(3k)(3k-1)} \;+\; C_{2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m+1}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m}(3k+1)(3k)},
com produtos definidos como 1 para m=0.
Intervalo de validade: -\infty<x<\infty.

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