Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(g)
, Equação de Airy.
(g)
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em torno de
, a equação de Airy
usando séries de potências. O conteúdo que vamos aplicar é o método de série de potências para EDOs ordinárias: assumimos
calculamos
, substituímos na equação e igualamos coeficientes de
para encontrar a relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Assumindo
a equação
vira
Reindexando o segundo somatório (
) e igualando coeficientes de
obtemos
Logo
Passo 3
Como
, vê-se que todos os
. Restam dois coeficientes livres
e
, gerando duas séries independentes:
(i) Série com : seus termos não nulos são
e satisfazem, para
,
(i) Série com
(ii) Série com
: seus termos não nulos são
e satisfazem, para
,
Passo 4
Portanto a solução geral é
onde, tomando
,
,
O raio de convergência dessas séries é infinito, logo a solução vale para todo
.
Resposta
com produtos definidos como 1 para
.
Intervalo de validade: .
Intervalo de validade: