Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,0,2), B=(2,1,3) e C=(0,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos
A=(1,0,2),\quad B=(2,1,3),\quad C=(0,-1,1).
O conteúdo aqui é “equação de um plano determinado por três pontos não-colineares”. Em geral, precisamos:
  1. dois vetores diretores do plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}),
  2. o vetor normal ao plano dado pelo produto vetorial desses vetores diretores,
  3. montar a equação n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.

Passo 2

Calculemos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-0,\;3-2)=(1,1,1),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1,\;-1-0,\;1-2)=(-1,-1,-1).

Passo 3

Vamos ver se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são independentes, calculando o produto vetorial:
n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} =(0,0,0).
Como n=(0,0,0), os vetores são colineares.

Passo 4

O resultado n=(0,0,0) indica que A, B e C estão sobre a mesma reta, isto é, são colineares. Três pontos colineares não determinam um único plano, mas sim infinitos planos que contêm essa reta.

Passo 5

Para ilustrar, basta escolher um vetor normal qualquer não nulo e perpendicular a \overrightarrow{AB}=(1,1,1). Por exemplo,
n_1=(1,-1,0),\quad n_1\cdot(1,1,1)=1-1+0=0.
A equação do plano que contém a reta AB e tem normal n_1 é
n_1\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (1,-1,0)\cdot\bigl((x-1),(y-0),(z-2)\bigr)=0
\implies (x-1)-(y-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-y-1=0.

Resposta

Os pontos A,B,C são colineares, portanto existem infinitos planos passando por eles.
Um exemplo de equação de plano é
x - y - 1 = 0.

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